Um objeto move-se no espaço R 3 , descrevendo uma curva de comprimento π . Ele parte do ponto 3 , 0,0 no instante t = 0 e sua posição ao longo do tempo é dada por 3 c o s t , 3 s e n t ,   t . Sua posição final é:

a) 0 , 3 , π / 2

b) - 3 , 0 , π

c) 3 , 0,2 π

d) 0 , - 3 , 1

e) ( 15 ,   π / 2   , 0 )  

f) ( 3 π / 2 ,   0 , 7 )

Passo 1

Sabemos que o comprimento de uma curva é dado por:

L = ∫ t 1 t 2 x ' t 2 + y ' t 2 + z ' t 2 d t

Calculando as derivadas, temos:

r ' t = - 3 s e n t   , 3 c o s t , 1  

Repare ainda que t 1 = 0   .

Passo 2

Substituindo:

π = ∫ 0 t 2 - 3 s e n t 2 + 3 c o s t 2 + 1 2 d t

π = ∫ 0 t 2 3 + 1 d t = 2 t t 2 0

Então:

π = 2 t 2

Logo:

t 2 = π / 2

Passo 3

Calculando a posição do objeto no instante t 2 = π / 2 , temos:

P f = 3 c o s π 2 , 3 s e n ( π / 2 )   ,   π / 2

P f = ( 0 , 3 , π / 2 )

Resposta

a) a) 0 , 3 , π / 2

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule o comprimento exato da curva polar: r = 2 c o s θ 0 ≤ θ ≤ π
(a) Trace a epitrocoide com equações x = 11 cos ⁡ t - 4 cos ⁡ 11 t / 2 y = 11 sen ⁡ t - 4 sen ⁡ 11 t / 2 Qual intervalo do parâmetro fornece a curva completa?(b) Use seu SCA para calcular o compriment
Um barbante é enrolado ao redor de um círculo e então desenrolado, sendo mantido esticado. A curva traçada pelo ponto P no final do barbante é chamada involuta do cículo. Se o círculo tiver raio r e c
51-54. Use uma calculadora ou um computador para encontrar o comprimento do laço, com precisão de quatro casas decimais. Se necessário, use um gráfico para determinar o intervalo de parâmetro.53. r =
Ao gravar apresentações ao vivo, os engenheiros de som usam um padrão de captação em forma de cardioide, pois ele suprime o barulho da audiência. Suponha que o microfone esteja colocado a 4m da frente