Seja C uma curva com parametrização x t , y t , z t ,   t ∈ R ,   e supondo que as coordenadas satisfaçam as equações:

x ' ' + x = 0 , y = - x ' , z ' = 4 , x 0 = 0 ,   y 0 = - 2 ,   z 0 = 2 .

a) Encontre fórmulas explícitas para x t ,   y t ,   z t .

b) Encontre uma parametrização para a reta tangente à curva C no ponto P 0 = 2 ,   0 ,   2 π + 2 .

c)Calcule o comprimento do trecho da curva C   obtido restringindo-se o parâmetro ao intervalo t ∈ [ - π ,   5 π ]

Passo 1

a) Bom, pra começar essa letra a, vamos iniciar resolvendo essa equação diferencial. Observa que nós temos umas condições iniciais pra podermos descobrir o valor das constantes.

x ' ' + x = 0

r 2 + 1 = 0

∆ = b 2 - 4 a c

∆ = 0 - 4 × 1 × 1 = - 4 → ∆ < 0

r = ± - 4 2 = ± i

Com isso temos então como solução geral:

x t = C 1 cos ⁡ t + C 2 s e n ( t )

Passo 2

Com a condição inicial temos:

x 0 = 0

x t = C 1 cos ⁡ t + C 2 s e n t → x 0 = C 1 cos ⁡ 0 + C 2 s e n 0

x 0 = C 1 = 0

Bom, até agora temos então:

x t = 0 cos ⁡ t + C 2 s e n t

x t = C 2 s e n ( t )

Não sabemos ainda o valor de C 2 . Para nossa sorte o enunciado ainda nos passou algumas outras condições. Uma delas é:

y = - x '

y = - C 2 cos ⁡ t

Temos ainda que y 0 = - 2

y t = - C 2 cos ⁡ t → y 0 = - C 2 cos ⁡ 0 = - C 2 = - 2 → C 2 = 2

Oba! Já temos agora então o valor das constantes C 1 e   C 2 . Nosso x(t) fica então:

x t = 2 s e n t

Enquanto o y(t) vale:

y t = - 2 c o s ⁡ ( t )

Passo 3

Para descobrirmos z ( t ) então vamos partir de:

z ' = 4

∫ z ' = ∫ 4   d t

z ( t ) = 4 t + C 3

Pelo enunciado temos z 0 = 2

z t = 4 t + C 3 → z 0 = C 3 → C 3 = 2

z t = 4 t + 2

Então nossa curva parametrizada fica descrita como:

C t = 2 s e n t , - 2 cos ⁡ t ,   4 t + 2 .

Passo 4

b) Para encontrarmos a parametrização da reta tangente no ponto P 0 = ( 2 ,   0 ,   2 π + 2 ) precisamos lembra que:

r x = C t 0 + x C ' t o

Primeiramente vamos precisar então descobrir qual valor desse instante t 0 , ou seja, o momento em que a função C tem como coordenada o ponto P 0 .

P 0 = ( 2 ,   0 ,   2 π + 2 )

C t = 2 s e n t , - 2 cos ⁡ t ,   4 t + 2

Logo então temos:

2 = 2 s e n t 0 = - 2 cos ⁡ t 2 π + 2 = 4 t + 2

Resolvendo esse sistema vemos que único valor possível para t que satisfaz todas as igualdades é t 0 = π 2 .

Para encontrar então a reta tangente precisamos agora de C ' ( t 0 ) .

C ' t = 2 cos ⁡ t ,   2 s e n t ,   4

C ' t 0 = C ' π 2 = 0 ,   2 ,   4

Podemos então finalmente montar nossa reta tangente:

r x = C t 0 + x C ' t o

r x = 2 ,   0 ,   2 π + 2 + x 0 ,   2 ,   4

r x = 2 ,   2 x ,   2 π + 2 + 4 x

Passo 5

c) Para calcular a área vamos aplicar uma introdução da integral de linha que você vai estudar mais profundamente em Cálculo 3. Mas para resolver essa questão basta saber que:

L = ∫ - π 5 π C ' t d t

Onde L é o comprimento que procuramos.

L = ∫ - π 5 π 2 cos ⁡ t 2 + 2 s e n t 2 + 4 2   d t

Lembra que cos 2 ⁡ t + s e n 2 t = 1 ,   certo? Então colocando em evidencia o 2 2 temos:

∫ - π 5 π 2 2 cos ⁡ t 2 + s e n t 2 + 4 2   d t

∫ - π 5 π 4 + 16   d t = ∫ - π 5 π 20   d t

20   t | 5 π - π = 6 π 20

Resposta

a )   C t = 2 s e n t , - 2 cos ⁡ t ,   4 t + 2

b ) r x = 2 ,   2 x ,   2 π + 2 + 4 x

c )   6 π 20

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