1) Se f   : a ,   b → R é uma função derivável então o comprimento da curva determinada pelo gráfico de f é dado pela integral L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x . Calcule esse comprimento em cada um dos casos abaixo.

c) f x = 1 - x 2 , para x ∈ - 1 2 , 1 2

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Esse enunciado nos pede o cálculo do comprimento da curva sob o seguinte argumento:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Analisando esse argumento, temos alguns termos ainda não definidos, não é mesmo?

O primeiro deles é o f ' x 2 .

Isso mesmo! Esse termo nada mais é que a derivada de f ( x ) elevado ao quadrado.

O segundo termo não definindo ainda são as letras a e b , intervalo da nossa integral.

Esse intervalo precisa ser exatamente o mesmo do domínio de f ( x ) , já que para conseguirmos integrar, não poderíamos utilizar algum valor que não serve em f ( x ) .

Perfeito!

Agora vamos começar a definir L .

Passo 2

Nesse passo, vamos começar com a derivada de f ( x ) :

Usaremos a x n = a x n para reescrevermos a função, então:

1 - x 2 1 2

Agora diferenciaremos usando a regra da cadeira.

Você lembra dessa regra? Vamos relembrar...

d d x ( f g x = f ' g x * g ' ( x )

Para o nosso exemplo,

f x = x 1 2 e g x = 1 - x 2

Então, aplicando à regra:

1 2 1 - x 2 1 2 - 1 d d x   [ 1 - x 2 ]  

1 2 1 1 - x 2 1 2   [ - 2 x ]

- x 1 - x 2 1 2

Nesse passo ainda, já vamos aplicar f ' x 2 :

Portanto:

- x 1 - x 2 1 2 2

x 2 1 - x 2

Passo 3

Agora vamos definir L :

E vamos relembrar de aplicar a = - 1 2 e b = 1 2 , intervalos da nossa integral:

L = ∫ - 1 2 1 2 1 + x 2 1 - x 2 d x

Primeiro, vamos calcular o MMC dentro do radicando:

= 1 - x 2 1 - x 2 + x 2 1 - x 2

= 1 - x 2 + x 2 1 - x 2

= 1 1 - x 2

Portanto:

L = ∫ - 1 2 1 2 1 1 - x 2 d x

Isso é o mesmo que:

L = ∫ - 1 2 1 2 1 1 - x 2   d x

L = ∫ - 1 2 1 2 1 1 - x 2   d x

Olha só que bacana! Essa integral é conhecida e é uma substituição direta:

L = arcsin ⁡ x | 1 2 - 1 2

Como é uma integral definida, vamos aplicar:

L = arcsin ⁡ 1 2 - arcsin ⁡ - 1 2

L = π 6 - - π 6

L = 2 π 6 = π 3

Ufa! Terminamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

π 3

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