(Capítulo 13.3 – Exercício 3) Determine o comprimento da curva dada.

r t = 2 t   i   +   e t j   +   e   - t   k ,           0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Fala aí, galerinha!! Tudo certinho? Bora lá resolver mais uma questão!

Esse enunciado é bem direto e pequenininho, então vamos olhar bem pra equação e intervalo de tempo que foram dados nele, pra gente entender o que temos que fazer!

Quando um exercício pede pra gente calcular o comprimento de uma curva que foi dada, em um determinado intervalo de valores, existem alguns passos que devemos seguir pra achar esse comprimento! Se a gente seguir eles certinho, não tem erro!

Vamos começar relembrando que, de acordo com a literatura, o comprimento de uma curva sempre vai ser dado pela integral do módulo da derivada dessa curva. Em termos de equação, isso vai ficar mais ou menos assim:

L = ∫ a b r ' ( t )   d t

Então, antes de tudo, o primeiro passo pra chegarmos no resultado final, vai ser encontrar a derivada da curva dada.

Passo 2

Do enunciado, a gente tem que a curva é: r t = 2 t   i   +   e t j   +   e   - t   k

Então, para acharmos a derivada, vamos aplicar a derivada termo a termo na equação acima:

r ' t = 2   i +   e t   j + - e   - t   k

Passo 3

Feito isso, nosso segundo passo aqui vai ser calcular o módulo dessa derivada encontrada. Esse módulo é representado por: r ' t .

Tá, mas como calculamos de fato esse módulo? Ele nada mais é, do que a raiz quadrada, da soma dos quadrados de cada um dos componentes da curva derivada.

Em termos de equação, vamos ter:

r ' ( t ) = f ' t 2 + g ' t 2 + h ' t 2

Então vamos lá! Substituindo os valores da derivada da curva encontrados no passo 1, temos:

r ' ( t ) = 2 2 + e t 2 + ( - e - t ) 2

r ' ( t ) = 2 + e 2 t + e - 2 t

r ' ( t ) = 2 + e 2 t + 1 e 2 t

Aqui podemos tirar o M.M.C. pra simplificar nosso módulo. Vamos ficar com:

r ' ( t ) = 2 e 2 t + e 4 t + 1 e 2 t

E então vamos observar algo bem interessante! Esse nosso numerador é um produto notável!! E podemos escrever ele assim, olha só:

r ' ( t ) = e 2 t + 1 2 e 2 t

Tanto o numerador como o denominador estão elevados ao quadrado dentro da raiz. Isso é ótimo porque significa que podemos tirar eles de lá. Mas lembrando que isso só pode acontecer se eles forem positivos, ok?

Vamos ter então:

r ' ( t ) = e 2 t + 1 e t

Passo 4

Então, por fim, integrando o valor que encontramos no passo acima, teremos algo mais ou menos assim:

∫ a b r ' ( t ) d t       →       ∫ a b e 2 t + 1 e t   d t  

Tá, mas e esses valores de a e b nos limites de integração? O que fazemos com eles?

Note que o enunciado deu pra gente um intervalo de valores para t :

0 ≤ t ≤ 1

Esse intervalo será nosso limite de integração!!

Então, quando substituímos na fórmula ali em cima, temos tudo o que precisamos pra calcular nossa integral:

L = ∫ 0 1 e 2 t + 1 e t   d t

L = ∫ 0 1 e 2 t e t + 1 e t   d t

L = ∫ 0 1 e t + e - t d t

L = e t - e - t 0 1

L = e 1 - e - 1 - e 0 - e - 0

L = e - e - 1 - 1 - 1

L =   e - e - 1

Uhul!! Conseguimos!!

Pra essa questão é isso, pessoal!! Bem tranquilo, não é mesmo? Bora resolver mais uma então??

Resposta

L = e - e - 1

Exercícios de Livros Relacionados

(a) Trace a epitrocoide com equações x = 11 cos ⁡ t - 4 cos ⁡ 11 t / 2 y = 11 sen ⁡ t - 4 sen ⁡ 11 t / 2 Qual intervalo do parâmetro fornece a curva completa?(b) Use seu SCA para calcular o compriment
Um barbante é enrolado ao redor de um círculo e então desenrolado, sendo mantido esticado. A curva traçada pelo ponto P no final do barbante é chamada involuta do cículo. Se o círculo tiver raio r e c
51-54. Use uma calculadora ou um computador para encontrar o comprimento do laço, com precisão de quatro casas decimais. Se necessário, use um gráfico para determinar o intervalo de parâmetro.53. r =
Ao gravar apresentações ao vivo, os engenheiros de som usam um padrão de captação em forma de cardioide, pois ele suprime o barulho da audiência. Suponha que o microfone esteja colocado a 4m da frente
3. Calcule o comprimento da curva dada em coordenadas polares (Utilize o Exerc. 2)b) ρ = 1 + cos ⁡ θ , θ ∈ 0 , π 4