2) Seja C uma curva no plano definida, parametricamente, por ( x t ,   y t ) , com a ≤ t ≤ b . Suponha que x ' e y ' são funções contínuas que não se anulam simultaneamente em a ,   b e que a curva C é percorrida exatamente uma vez quando t avança de t = a para t = b . Nessas condições, o comprimento de C é dado pela integral definida

L = ∫ a b x ' t 2 + y ' t 2   d t .

Calcule esse comprimento em cada um dos casos abaixo.

(c) x t = e t - t ,   y t = 4 e t / 2 ,       p a r a   0 ≤ t ≤ 3

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Esse exercício aqui já começa soltando um monte de informações que eu tenho certeza que te fizeram pensar “nossa, o que que é isso?”. Mas calma, vamos explicar cada coisinha que está ali e seguir a partir daí!!

Vamos começar interpretando a primeira parte da questão. O enunciado fala que temos uma curva C , que é definida parametricamente por ( x t ,   y t ) , com a ≤ t ≤ b . Tá, mas o que isso quer dizer?

Parece ser algo complicado, mas na verdade isso só diz pra gente que a curva é definida por duas funções: x t   e   y t , que vão possuir t em um intervalo entre a e b !!

Na segunda parte, quando ele fala que temos x ' e y ' como funções contínuas, vamos relembrar que esse x e y com apostrofo significa a derivada das funções x t   e   y t , e que estas serão, portanto, contínuas. Depois disso, quando o enunciado nos diz que essas derivadas não se anulam em a ,   b , quer dizer que nos valores de a e b , a soma das funções não será 0!

Continuando nesse mesmo raciocínio, vamos pensar aqui que quando o exercício afirma que a curva C é percorrida exatamente uma vez quando t avança de t = a para t = b , isso nada mais é do que ele dizendo que os nossos limites de integração para resolver essa questão serão a e b !!

E por fim, ele pede pra gente calcular o comprimento da curva pela fórmula de L fornecida!

Viu só?! O enunciado só assusta, mas na verdade o exercício é simples!

Passo 2

Vamos começar separando as informações que temos:

x t = e t - t ,   y t = 4 e t / 2 ,       p a r a   0 ≤ t ≤ 3

Como a fórmula de L precisa das derivadas das funções x ( t ) e y ( t ) acima, vamos começar por aí!

Então, temos que a derivada de x ( t ) se dá por:

x ' t = e t - 1

Encontrando a derivada de y ( t ) temos que aplicar a regra da cadeia. Nós temos que esta regra se dá pelo seguinte: h g t ' = h ' g t * g ' ( t ) . Então, precisamos começar determinando quem é h ( t ) e g t :

h t = e t ,     g t = t 2

Suas derivadas são:

h ' t = e t ,     g ' t = 1 2

Então a derivada de y ( t ) é:

y ' t = 4 * h g t ' = 4 * e t 2 * 1 2

y ' t = 2 e t / 2

Passo 3

Agora que já temos as derivadas das nossas funções, podemos substitui-la na fórmula de comprimento dada no enunciado:

L = ∫ a b x ' t 2 + y ' t 2   d t

Substituindo os valores temos:

L = ∫ a b e t - 1 2 + 2 e t / 2 2   d t

Antes de seguirmos, vamos definir nossos limites de integração! Mas como vamos fazer isso? Precisamos fazer mais cálculos?

Calma! Não precisamos de mais cálculos! Vamos observar aqui que o enunciado definiu um intervalo de t : 0 ≤ t ≤ 3 . Esse intervalo representa os nossos limites de integração!! Então temos que a = 0 e b = 3 .

Reescrevendo a fórmula vamos ter então:

L = ∫ 0 3 e t - 1 2 + 2 e t / 2 2   d t

Passo 4

Por fim, vamos resolver a integral do passo acima! Mas antes, vamos manipular aquela raiz quadrada que está ali.

L = ∫ 0 3 e t - 1 e t - 1 + 2 e t 2 2   d t

L = ∫ 0 3 e 2 t - 2 e t + 1 + 2 e t 2 2   d t

L = ∫ 0 3 e 2 t - 2 e t + 1 + 4 e t   d t

L = ∫ 0 3 e 2 t + 2 e t + 1   d t

Por fim, fatorando a expressão acima vamos ter que:

L = ∫ 0 3 e t + 1 2   d t

L = ∫ 0 3 e t + 1   d t

Agora basta aplicarmos a integração por partes:

L = e t + t 3 0

L = e 3 + 3 - e 0 + 0

L = e 3 + 3 - 1

L = e 3 + 2

Ufa!! Terminamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

L = e 3 + 2

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