(Cap. 13.3 - Ex. 14) Reparametrize a curva com relação ao comprimento de arco medido a partir do ponto onde t = 0 na direção crescente de t .

r t = e 2 t c o s c o s   2 t     i + 2 j + e 2 t s e n   2 t   k

Passo 1

Fala aí, galerinha!! Tudo certinho? Bora lá resolver mais uma questão!

O objetivo desse exercício aqui, é parametrizar a curva, a partir do valor que encontrarmos do comprimento de arco. Esse comprimento de arco, será calculado a partir da equação que foi dada no enunciado.

Então, o primeiro passo para começarmos esse exercício aqui, é calcular a derivada r ' ( t ) da curva dada, uma vez que a fórmula do comprimento de arco se dá por: L = ∫ 0 t | r ' t | d t

Então, temos que a derivada de r ( t ) é:

r ' t = 2 e 2 t c o s c o s   2 t - s e n   2 t     i + 0   j + 2 e 2 t c o s   2 t + s e n   2 t   k

Agora, precisamos calcular o módulo dessa derivada.

Tá, mas como calculamos de fato esse módulo? Ele nada mais é, do que o módulo da raiz quadrada, da soma dos quadrados de cada um dos termos da curva derivada.

Em termos de equação, vamos ter:

r ' ( t ) = f ' t 2 + g ' t 2 + h ' t 2

Então, substituindo os valores na fórmula acima, temos que:

r ' t = 2 e 2 t c o s c o s   2 t - s e n   2 t   2 + 2 e 2 t c o s   2 t + s e n   2 t 2

= 2 e 2 t 2 [ c o s c o s   2 t - s e n   2 t   2 + c o s   2 t + s e n   2 t 2 ]

= 2 e 2 t [ c o s c o s   2 t - s e n   2 t   2 + c o s   2 t + s e n   2 t 2 ]

= 2 e 2 t 2 t - 2 s e n   2 t c o s c o s   2 t   + s e n 2 2 t   + 2 t + 2 s e n   2 t c o s c o s   2 t + s e n 2 2 t    

= 2 e 2 t 22 t + 2   s e n 2 2 t  

= 2 e 2 t 2 ( 2 t +   s e n 2 2 t )  

r ' ( t ) = 2 2 e 2 t

Pronto! Já temos o nosso módulo. Vamos continuar?

Passo 2

Substituindo o módulo na função comprimento de arco temos que:

L = ∫ 0 t | r ' t | d t

L = ∫ 0 t 2 2 e 2 t   d t

L = 2 e 2 t 0 t

L = 2 e 2 t - 2

Passo 3

Partindo do passo anterior podemos obter uma expressão de t ( L ) :

L = 2 e 2 t - 2

e 2 t = L + 2 2

Aplicando o logaritmo natural aos dois lados da igualdade temos:

2 t = l n ⁡ ( L 2 + 1 )

t = 1 2   l n ⁡ ( L 2 + 1 )

Passo 4

Por fim, substituindo t na equação vetorial original da curva, obtemos a reparametrização da curva que foi pedido no exercício:

r t ( L ) = e 2 t c o s c o s   2 t     i + 2 j + e 2 t s e n   2 t k

= e 2 1 2   l n ⁡ ( L 2 + 1 ) c o s c o s   [ 2 1 2   l n ⁡ ( L 2 + 1 ) ]     i + 2 j + e 2 1 2   l n ⁡ ( L 2 + 1 ) s e n   [ 2 1 2   l n ⁡ ( L 2 + 1 ) ] k

r ( t ( L ) ) = L 2 + 1 c o s c o s   [   l n ⁡ ( L 2 + 1 ) ]     i + 2 j + L 2 + 1 s e n   [   l n ⁡ ( L 2 + 1 ) ] k

Uhul! Conseguimos!

Pra essa questão é isso, pessoal!! Bem tranquilo, não é mesmo? Bora resolver mais uma então??

Resposta

r ( t L ) = L 2 + 1 c o s c o s   [   l n ⁡ ( L 2 + 1 ) ]     i + 2 j + L 2 + 1 s e n   [   l n ⁡ ( L 2 + 1 ) ] k

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