Determine o comprimento das curvas parametrizadas:

a) x   =   1   -   t , y   =   2   +   3 t , - 2 / 3   ≤   t   ≤   1

Passo 1

E aí galerinha, tudo beleza com vocês por aí?

A UFCG mandou essa questão para determinarmos o comprimento de curvas parametrizadas, mas o que isso significa??

Olha só, na imagem abaixo nós temos uma curva complexa em azul e para determinar o comprimento dessa curva, podemos dividir a curva em n pedaços!!

A ideia aqui é aproximar o comprimento da curva por um comprimento de segmento de reta que é bem mais simples de resolver, dá uma espiada na imagem abaixo!

Ou sejaaa, podemos dizer que o comprimento do segmento de reta equivale a:

C = ∆ x 2 + ∆ y 2

Logo, a soma de todos esses n pedaços é o comprimento total L , e assim obtemos a nossa relação de que L é a integral da soma dos n pedaços, sendo que cada pedacinho representa uma variação em   X e outra em Y , logo:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2   d t                                                   ( 1 )

Passo 2

Agora nós já pegamos a ideia, vamos aplicar!

Primeiro vamos determinar a derivada de x em relação à t .

d x d t = -   1

E a derivada de y em relação à t .

d y d t = 3

Belzinhaaa, agora é só substituir na equação (1) as derivadas de x e y em relação à t e os limites de integração sendo - 2 / 3   ≤   t   ≤   1 .

L = ∫ - 2 3 1 - 1 2 + 3 2   d t

Simplificando a raiz quadrada.

L = ∫ - 2 3 1 10   d t = 10 ∫ - 2 3 1 1   d t

Logo, a integral equivale à:

L = 10 t - 2 / 3 1 = 10 1 + 2 3 = 5 3 10

Prontinho, encontramos o comprimento total da curva! Curtiu a resolução? Responde Aí ;)

Resposta

5 3 10

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