(Cap. 13.3 - Ex. 4) Determine o comprimento da curva dada.

r t = c o s c o s   t     i + s e n   t   j + l n l n   c o s c o s   t     k   ,     0 ≤ t ≤ π / 4

Passo 1

Fala aí, galerinha!! Tudo certinho? Bora lá resolver mais uma questão!

Esse enunciado é bem direto e pequenininho, então vamos olhar bem pra equação e intervalo de tempo que foram dados nele, pra gente entender o que temos que fazer!

Quando um exercício pede pra gente calcular o comprimento de uma curva que foi dada, em um determinado intervalo de valores, existem alguns passos que devemos seguir pra achar esse comprimento! Se a gente seguir eles certinho, não tem erro!

Vamos começar relembrando que, de acordo com a literatura, o comprimento de uma curva sempre vai ser dado pela integral do módulo da derivada dessa curva. Em termos de equação, isso vai ficar mais ou menos assim:

L = ∫ a b r ' ( t )   d t

Então, antes de tudo, o primeiro passo pra chegarmos no resultado final, vai ser encontrar a derivada da curva dada.

Do enunciado, a gente tem que a curva é: r t = c o s c o s   t     i + s e n   t   j + l n l n   c o s c o s   t     k  

Então, para acharmos a derivada, vamos aplicar a derivada termo a termo na equação acima:

r ' t = - s i n s i n   t   + t   ) + 1 c o s c o s   t   - s e n t

Passo 2

Feito isso, nosso segundo passo aqui vai ser calcular o módulo dessa derivada encontrada. Esse módulo é representado por: r ' t .

Tá, mas como calculamos de fato esse módulo? Ele nada mais é, do que o módulo da raiz quadrada, da soma dos quadrados de cada um dos termos da curva derivada.

Em termos de equação, vamos ter:

r ' ( t ) = f ' t 2 + g ' t 2 + h ' t 2

Então vamos lá! Substituindo os valores da derivada da curva encontrados no passo 1, temos:

r ' t = - s i n s i n   t   2 + ( c o s   t ) 2 + 1 c o s c o s   t   - s e n t 2

r ' ( t ) = t   + t   + t  

Aqui vamos observar algo bem interessante! Das relações trigonométricas, sabemos que: s e n 2 t + ( t )   = 1 ,   ( t )   + 1 = ( t )   . Então, olhando para a expressão encontrada aqui em cima, podemos fazer algumas substituições:

1ª Substituição: r ' ( t ) = 1 + t  

2ª Substituição: r ' ( t ) = t  

r ' ( t ) = s e c s e c   t  

Pronto! Já temos o nosso módulo. Vamos continuar?

Passo 3

Então, por fim, integrando o valor que encontramos no passo acima, teremos algo mais ou menos assim:

∫ a b r ' ( t ) d t       →       ∫ a b s e c s e c   t     d t

Tá, mas e esses valores de a e b nos limites de integração? O que fazemos com eles?

Note que o enunciado deu pra gente um intervalo de valores para t :

0 ≤ t ≤ π 4

Esse intervalo será nosso limite de integração!!

Então, quando substituímos na fórmula ali em cima, temos tudo o que precisamos pra calcular nossa integral:

L = ∫ 0 π 4 s e c s e c   t   d t

L = ∫ 0 π 4 s e c s e c   t   d t  

L = l n l n   s e c s e c   t   + t g t   0 π 4

L = l n l n   2 + 1   - l n l n   1  

L = l n ⁡ ( 2 + 1 )

Pra essa questão é isso, pessoal!! Bem tranquilo, não é mesmo? Bora resolver mais uma então??

Resposta

L = l n ⁡ ( 2 + 1 )

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