2) Seja C uma curva no plano definida, parametricamente, por ( x t ,   y t ) , com a ≤ t ≤ b . Suponha que x ' e y ' são funções contínuas que não se anulam simultaneamente em a ,   b e que a curva C é percorrida exatamente uma vez quando t avança de t = a para t = b . Nessas condições, o comprimento de C é dado pela integral definida

L = ∫ a b x ' t 2 + y ' t 2   d t .

Calcule esse comprimento em cada um dos casos abaixo.

(a) x t = r cos ⁡ ( t ) ,   y t = r   s e n   t ,       p a r a   0 ≤ t ≤ 2 π   e   r > 0

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Esse exercício aqui já começa soltando um monte de informações que eu tenho certeza que te fizeram pensar “nossa, o que que é isso?”. Mas calma, vamos explicar cada coisinha que está ali e seguir a partir daí!!

Vamos começar interpretando a primeira parte da questão. O enunciado fala que temos uma curva C , que é definida parametricamente por ( x t ,   y t ) , com a ≤ t ≤ b . Tá, mas o que isso quer dizer?

Parece ser algo complicado, mas na verdade isso só diz pra gente que a curva é definida por duas funções: x t   e   y t , que vão possuir t em um intervalo entre a e b !!

Na segunda parte, quando ele fala que temos x ' e y ' como funções contínuas, vamos relembrar que esse x e y com apostrofo significa a derivada das funções x t   e   y t , e que estas serão, portanto, contínuas. Depois disso, quando o enunciado nos diz que essas derivadas não se anulam em a ,   b , quer dizer que nos valores de a e b , a soma das funções não será 0!

Continuando nesse mesmo raciocínio, vamos pensar aqui que quando o exercício afirma que a curva C é percorrida exatamente uma vez quando t avança de t = a para t = b , isso nada mais é do que ele dizendo que os nossos limites de integração para resolver essa questão serão a e b !!

E por fim, ele pede pra gente calcular o comprimento da curva pela fórmula de L fornecida!

Viu só?! O enunciado só assusta, mas na verdade o exercício é simples!

Passo 2

Vamos começar separando as informações que temos:

x t = r cos ⁡ ( t ) ,   y t = r   s e n   t ,       p a r a   0 ≤ t ≤ 2 π   e   r > 0

Como a fórmula de L precisa das derivadas das funções x ( t ) e y ( t ) acima, vamos começar por aí!

Então, encontrando a derivada de x ( t ) temos que:

x ' t = - r sin ⁡ ( t )

Vale lembrar aqui que a derivada de funções trigonométricas é previamente conhecida, e que nesse caso, r será uma constante, e por esse motivo ele permanece.

Encontrando a derivada de y ( t ) temos que:

y ' t = r cos ⁡ t

Passo 3

Agora que já temos as derivadas das nossas funções, podemos substitui-la na fórmula de comprimento dada no enunciado:

L = ∫ a b x ' t 2 + y ' t 2   d t

Substituindo os valores temos:

L = ∫ a b - r sin ⁡ t 2 + r cos ⁡ t 2   d t

Antes de seguirmos, vamos definir nossos limites de integração! Mas como vamos fazer isso? Precisamos fazer mais cálculos?

Calma! Não precisamos de mais cálculos! Vamos observar aqui que o enunciado definiu um intervalo de t : 0 ≤ t ≤ 2 π . Esse intervalo representa os nossos limites de integração!! Então temos que a = 0 e b = 2 π .

Reescrevendo a fórmula vamos ter então:

L = ∫ 0 2 π - r sin ⁡ t 2 + r cos ⁡ t 2   d t

Passo 4

Por fim, vamos resolver a integral do passo acima! Mas antes, vamos manipular aquela raiz quadrada que está ali.

Usando a regra de multiplicação de potências, vamos fazer a distribuição dos expoentes dentro da raiz:

L = ∫ 0 2 π r 2 sin 2 ⁡ ( t ) + r 2 cos 2 ⁡ ( t )   d t

Como r 2 é um fator comum, ele pode ser colocado em evidência:

L = ∫ 0 2 π r 2 sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t   d t

Agora, sabemos que das relações trigonométricas que sin 2 ⁡ ( t ) + cos 2 ⁡ ( t ) = 1 . Então substituindo ali em cima vamos ter que:

L = ∫ 0 2 π r 2 1   d t

L = ∫ 0 2 π r   d t

Porém, antes de sairmos resolvendo essa integral, vamos observar que ela está sendo aplicada em função de t . Portanto o r que está ali é uma constante que vai sair da integral. Com isso, vamos ter o seguinte:

L = r ∫ 0 2 π d t

Agora sim podemos resolver a integral! Vamos ter que:

L = r t 2 π 0

L = r 2 π - 0

L = 2 π r

Ufa!! Terminamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

L = 2 π r

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