2) Seja C uma curva no plano definida, parametricamente, por ( x t ,   y t ) , com a ≤ t ≤ b . Suponha que x ' e y ' são funções contínuas que não se anulam simultaneamente em a ,   b e que a curva C é percorrida exatamente uma vez quando t avança de t = a para t = b . Nessas condições, o comprimento de C é dado pela integral definida

L = ∫ a b x ' t 2 + y ' t 2   d t .

Calcule esse comprimento em cada um dos casos abaixo.

(d) x t = t 3 ,   y t = 3 2 t 2 ,       p a r a   0 ≤ t ≤ 3

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Esse exercício aqui já começa soltando um monte de informações que eu tenho certeza que te fizeram pensar “nossa, o que que é isso?”. Mas calma, vamos explicar cada coisinha que está ali e seguir a partir daí!!

Vamos começar interpretando a primeira parte da questão. O enunciado fala que temos uma curva C , que é definida parametricamente por ( x t ,   y t ) , com a ≤ t ≤ b . Tá, mas o que isso quer dizer?

Parece ser algo complicado, mas na verdade isso só diz pra gente que a curva é definida por duas funções: x t   e   y t , que vão possuir t em um intervalo entre a e b !!

Na segunda parte, quando ele fala que temos x ' e y ' como funções contínuas, vamos relembrar que esse x e y com apostrofo significa a derivada das funções x t   e   y t , e que estas serão, portanto, contínuas. Depois disso, quando o enunciado nos diz que essas derivadas não se anulam em a ,   b , quer dizer que nos valores de a e b , a soma das funções não será 0!

Continuando nesse mesmo raciocínio, vamos pensar aqui que quando o exercício afirma que a curva C é percorrida exatamente uma vez quando t avança de t = a para t = b , isso nada mais é do que ele dizendo que os nossos limites de integração para resolver essa questão serão a e b !!

E por fim, ele pede pra gente calcular o comprimento da curva pela fórmula de L fornecida!

Viu só?! O enunciado só assusta, mas na verdade o exercício é simples!

Passo 2

Vamos começar separando as informações que temos:

x t = t 3 ,   y t = 3 2 t 2 ,       p a r a   0 ≤ t ≤ 3

Como a fórmula de L precisa das derivadas das funções x ( t ) e y ( t ) acima, vamos começar por aí!

Então, temos que a derivada de x ( t ) se dá por:

x ' t = 3 t 2

Encontrando a derivada de y ( t ) temos que:

y ' t = 3 t

Passo 3

Agora que já temos as derivadas das nossas funções, podemos substitui-la na fórmula de comprimento dada no enunciado:

L = ∫ a b x ' t 2 + y ' t 2   d t

Substituindo os valores temos:

L = ∫ a b 3 t 2 2 + 3 t 2   d t

Antes de seguirmos, vamos definir nossos limites de integração! Mas como vamos fazer isso? Precisamos fazer mais cálculos?

Calma! Não precisamos de mais cálculos! Vamos observar aqui que o enunciado definiu um intervalo de t : 0 ≤ t ≤ 3 . Esse intervalo representa os nossos limites de integração!! Então temos que a = 0 e b = 3 .

Reescrevendo a fórmula vamos ter então:

L = ∫ 0 3 3 t 2 2 + 3 t 2   d t

Passo 4

Por fim, vamos resolver a integral do passo acima! Mas antes, vamos manipular aquela raiz quadrada que está ali.

L = ∫ 0 3 3 t 2 2 + 3 t 2   d t

L = ∫ 0 3 9 t 4 + 9 t 2   d t

L = ∫ 0 3 9 t 2 + 1   d t

L = ∫ 0 3 3 t t 2 + 1   d t

Como 3 é constante, podemos tirá-lo da integral:

L = 3 ∫ 0 3 t t 2 + 1   d t

Agora que temos a expressão simplificada, vamos integrar pelo método da substituição u :

Vamos definir u como sendo: u = x 2 + 1 . Então, temos que d u é: d u = 2 t d t     →   1 2 d u = t d t

Reescrevendo a expressão em termos de u :

L = 3 ∫ 0 3 u 1 2   d u

Como 1 2 é uma constante, podemos tirá-la da integral:

L = 1 2 * 3 ∫ 0 3 u   d u

Agora vamos reescrever u em termos de potência:

L = 3 2 ∫ 0 3 u 1 / 2   d u

De acordo com a regra de multiplicação de potência, vamos ter que essa integral se dá por:

L = 3 2 2 3 u 3 / 2 3 0

L = u 3 / 2 3 0

Agora vamos substituir todos os valores de u novamente e finalizar:

L = t 2 + 1 3 / 2 3 0

L = 3 2 + 1 3 / 2 - 0 2 + 1 3 / 2

L = 8 - 1 = 7

Ufa!! Terminamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

L = 7

Exercícios de Livros Relacionados

(a) Trace a epitrocoide com equações x = 11 cos ⁡ t - 4 cos ⁡ 11 t / 2 y = 11 sen ⁡ t - 4 sen ⁡ 11 t / 2 Qual intervalo do parâmetro fornece a curva completa?(b) Use seu SCA para calcular o compriment
Um barbante é enrolado ao redor de um círculo e então desenrolado, sendo mantido esticado. A curva traçada pelo ponto P no final do barbante é chamada involuta do cículo. Se o círculo tiver raio r e c
51-54. Use uma calculadora ou um computador para encontrar o comprimento do laço, com precisão de quatro casas decimais. Se necessário, use um gráfico para determinar o intervalo de parâmetro.53. r =
Ao gravar apresentações ao vivo, os engenheiros de som usam um padrão de captação em forma de cardioide, pois ele suprime o barulho da audiência. Suponha que o microfone esteja colocado a 4m da frente
3. Calcule o comprimento da curva dada em coordenadas polares (Utilize o Exerc. 2)b) ρ = 1 + cos ⁡ θ , θ ∈ 0 , π 4