Uma partícula se move ao longo de uma curva definida por

σ t = t - s e n   t ,   1 - cos ⁡ t ,   0 ≤ t ≤ 2 π

  1. Determine os instantes t 1 e t 2 ∈ [ 0,2 π ] em que v t = 1 .
  2. Calcule o espaço percorrido pela partícula no intervalo de tempo [ t 1 , t 2 ] .

Passo 1

a )

Calculando v ( t ) :

v t = σ ' t = ( 1 - cos ⁡ t , s e n   t )

Passo 2

Para saber em que instantes v t = 1 precisamos calcular a velocidade escalar da partícula e igualar a 1.

v t = 1 - cos ⁡ t 2 + s e n   t 2 = 1 - 2 cos ⁡ t + c o s 2 t + s e n 2 t = 2 - 2 cos ⁡ t

Passo 3

Igualando a 1:

2 - 2 cos ⁡ t = 1

2 - 2 cos ⁡ t = 1 2 = 1

- 2 cos ⁡ t = - 1

cos ⁡ t   = 1 2

t = n π 3

Mas, como t ∈ [ 0,2 π ] :

t 1 = π 3

t 2 = 5 π 3

Passo 4

b )

Para achar o espaço percorrido pela partícula, basta calcularmos o comprimento da curva que modela a trajetória da partícula.

L = ∫ t 1 t 2 σ ' ( t ) d t

σ ' ( t ) = v t = 2 - 2 cos ⁡ t

t 1 = π 3

t 2 = 5 π 3

Passo 5

Substituindo nossos dados na fórmula e desenvolvendo as contas:

L = ∫ π 3 5 π 3 2 - 2 cos ⁡ t d t = 4 3

Resposta

  1. t 1 = π 3 e t 2 = 5 π 3
  2. L = 4 3

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule o comprimento exato da curva polar: r = 2 c o s θ 0 ≤ θ ≤ π
(a) Trace a epitrocoide com equações x = 11 cos ⁡ t - 4 cos ⁡ 11 t / 2 y = 11 sen ⁡ t - 4 sen ⁡ 11 t / 2 Qual intervalo do parâmetro fornece a curva completa?(b) Use seu SCA para calcular o compriment
Um barbante é enrolado ao redor de um círculo e então desenrolado, sendo mantido esticado. A curva traçada pelo ponto P no final do barbante é chamada involuta do cículo. Se o círculo tiver raio r e c
51-54. Use uma calculadora ou um computador para encontrar o comprimento do laço, com precisão de quatro casas decimais. Se necessário, use um gráfico para determinar o intervalo de parâmetro.53. r =
Ao gravar apresentações ao vivo, os engenheiros de som usam um padrão de captação em forma de cardioide, pois ele suprime o barulho da audiência. Suponha que o microfone esteja colocado a 4m da frente