Considere a curva parametrizada por:

r t = c o s t , s e n t , a t ,   t ∈ 0,2 π

Onde a > 0 . Sabendo-se que o seu comprimento é 2 5 π , quanto vale a ?

a) a = 2

b) a = 1

c) a = 0

d) a = π

e) Nenhuma das alternativas

Passo 1

Sabemos que o comprimento de uma curva é dado por:

L = ∫ t 1 t 2 x ' t 2 + y ' t 2 + z ' t 2 d t

Calculando as derivadas, temos:

r ' t = - s e n t , c o s t , a

Repare ainda que t 1 = 0   e t 2 = 2 π

Passo 2

Substituindo:

2 5 π = ∫ 0 2 π - s e n t 2 + cos ⁡ t 2 + a 2 d t

2 5 π = ∫ 0 2 π 1 + a 2 d t = 1 + a 2 t 2 π 0

Então:

2 5 π = 2 π 1 + a 2

Logo:

a = ± 2

Como a > 0 , temos:

a = 2

Resposta

a) a = 2

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