Determine o comprimento do arco da curva cuja equação vetorial é r t = t ,   t - 2 3 ; t ∈ [ 1 ,   4 ] .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente determinar o comprimento de arco da equação vetorial r t = t ,   t - 2 3 , onde t varia no intervalo de 1 a 4 .

O comprimento de arco de uma curva pode ser definido pela equação:

L = ∫ a b r ' ( t ) d t

Nós já temos o r ( t ) , com as componentes x = t e y = t - 2 / 3 . Então, o que nós vamos fazer é derivar essa equação vetorial, calcular seu módulo e, a partir desse resultado, calcular a integral dentro do intervalo onde t varia para obter o comprimento de arco da nossa curva.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada da equação vetorial r t = t ,   t - 2 3 :

r ' t = 1 ,   - 2 3 t - 5 3

Beleza, agora vamos calcular o módulo desse vetor fazendo:

r ' t = d x d t 2 + d y d t 2

Onde d x t d = 1 e d y d t = - 2 3 t - 5 3 são as derivadas das componentes da equação vetorial. Assim, temos:

r ' t = 1 2 + - 2 3 t - 5 3 2 = 1 + 4 9 t - 10 3

Passo 3

Agora basta a gente calcular a integral de r ' t no intervalo [ 1 ,   4 ] :

L = ∫ 1 4 1 + 4 9 t - 10 3   d t

Usando uma calculadora avançada ou um software é possível obter a aproximação numérica para a integral acima:

∫ 1 4 1 + 4 9 t - 10 3   d t ≈ 3,0876

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

L = ∫ 1 4 r ' ( t ) d t ≈ 3,0876

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