(Cap. 13.3 - Ex. 5) Determine o comprimento da curva dada.

r t = i + t 2   j + t 3   k ,     0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Fala aí, galerinha!! Tudo certinho? Bora lá resolver mais uma questão!

Esse enunciado é bem direto e pequenininho, então vamos olhar bem pra equação e intervalo de tempo que foram dados nele, pra gente entender o que temos que fazer!

Quando um exercício pede pra gente calcular o comprimento de uma curva que foi dada, em um determinado intervalo de valores, existem alguns passos que devemos seguir pra achar esse comprimento! Se a gente seguir eles certinho, não tem erro!

Vamos começar relembrando que, de acordo com a literatura, o comprimento de uma curva sempre vai ser dado pela integral do módulo da derivada dessa curva. Em termos de equação, isso vai ficar mais ou menos assim:

L = ∫ a b r ' ( t )   d t

Então, antes de tudo, o primeiro passo pra chegarmos no resultado final, vai ser encontrar a derivada da curva dada.

Do enunciado, a gente tem que a curva é: r t = i + t 2   j + t 3   k

Então, para acharmos a derivada, vamos aplicar a derivada termo a termo na equação acima:

r ' t = 0 + 2 t + 3 t 2

Passo 2

Feito isso, nosso segundo passo aqui vai ser calcular o módulo dessa derivada encontrada. Esse módulo é representado por: r ' t .

Tá, mas como calculamos de fato esse módulo? Ele nada mais é, do que o módulo da raiz quadrada, da soma dos quadrados de cada um dos termos da curva derivada.

Em termos de equação, vamos ter:

r ' ( t ) = f ' t 2 + g ' t 2 + h ' t 2

Então vamos lá! Substituindo os valores da derivada da curva encontrados no passo 1, temos:

r ' t = 2 t 2 + 3 t 2 2

r ' ( t ) = 4 t 2 + 9 t 4

r ' ( t ) = t 4 + 9 t 2

Pronto! Já temos o nosso módulo. Vamos continuar?

Passo 3

Então, por fim, integrando o valor que encontramos no passo acima, teremos algo mais ou menos assim:

∫ a b r ' ( t ) d t       →       ∫ a b t 4 + 9 t 2   d t

Tá, mas e esses valores de a e b nos limites de integração? O que fazemos com eles?

Note que o enunciado deu pra gente um intervalo de valores para t :

0 ≤ t ≤ 1

Esse intervalo será nosso limite de integração!!

Então, quando substituímos na fórmula ali em cima, temos tudo o que precisamos pra calcular nossa integral:

L = ∫ 0 1 t   ( 4 + 9 t 2 ) d t

Para essa integral aqui, vamos ter que utilizar a regra da substituição:

u = 9 t 2 + 4 ,     d u = 18 t   d t

Q u a n d o   t = 0 → u = 4

Q u a n d o     t = 1 → u = 13

L = ∫ 4 13 u 18 d t

L = 1 27 u 3 2 4 13

L = 13 3 2 27 - 8 27

Pra essa questão é isso, pessoal!! Bem tranquilo, não é mesmo? Bora resolver mais uma então??

Resposta

L = 13 3 2 27 - 8 27

Exercícios de Livros Relacionados

(a) Trace a epitrocoide com equações x = 11 cos ⁡ t - 4 cos ⁡ 11 t / 2 y = 11 sen ⁡ t - 4 sen ⁡ 11 t / 2 Qual intervalo do parâmetro fornece a curva completa?(b) Use seu SCA para calcular o compriment
Um barbante é enrolado ao redor de um círculo e então desenrolado, sendo mantido esticado. A curva traçada pelo ponto P no final do barbante é chamada involuta do cículo. Se o círculo tiver raio r e c
51-54. Use uma calculadora ou um computador para encontrar o comprimento do laço, com precisão de quatro casas decimais. Se necessário, use um gráfico para determinar o intervalo de parâmetro.53. r =
Ao gravar apresentações ao vivo, os engenheiros de som usam um padrão de captação em forma de cardioide, pois ele suprime o barulho da audiência. Suponha que o microfone esteja colocado a 4m da frente
3. Calcule o comprimento da curva dada em coordenadas polares (Utilize o Exerc. 2)b) ρ = 1 + cos ⁡ θ , θ ∈ 0 , π 4