1) Se f : a ,   b → R é uma função derivável então o comprimento da curva determinada pelo gráfico de f é dado pela integral L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x . Calcule esse comprimento em cada um dos casos abaixo.

(a) f x = 1 2 e x + e - x ,   p a r a   x ∈ [ 0 ,   2 ]

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Esse exercício aqui já começa soltando um monte de informações que eu tenho certeza que te fizeram pensar “nossa, o que que é isso?”. Mas calma, vamos explicar cada coisinha que está ali e seguir a partir daí!!

O enunciado começa dizendo que temos uma função derivável f : a ,   b → R . Tá, mas o que isso significa?? Essa expressãozinha só assusta, mas na verdade é bem simples. Ela está dizendo pra nós que temos uma função f que é com toda certeza derivável, e que o intervalo dessa função está entre os valores de a e b e que estes valores são reais.

Tá, a primeira parte já foi desvendada!! Depois disso, o enunciado afirma pra gente que o comprimento de uma curva determinada pelo gráfico de f é dado por uma expressãozinha:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x .

Isso aqui é exatamente o que precisamos pra encontrarmos a nossa resposta!! Basta encontrarmos esse L a partir da função f ( x ) que nos foi dada!!

Mas como vamos fazer isso? A resposta é: uma coisa de cada vezpor partes!

Então, analisando melhor essa formulinha de comprimento L , vemos que dentro da raiz quadrada temos a derivada f ' ( x ) da função dada no enunciado ( f ( x ) ), elevada ao quadrado.

Vamos começar por isso então!!

Passo 2

A função que precisamos derivar é a que foi dada no enunciado:

f x = 1 2 e x + e - x ,   p a r a   x ∈ [ 0 ,   2 ]

Esse x ∈ [ 0 ,   2 ] significa que o x   pertence ao intervalo 0 ,   2 . Mas não precisamos disso agora então deixa essa informação guardadinha.

Para derivar a função, precisaremos usar algumas regrinhas que são padrão quando derivamos funções. Mas antes, vamos observar que aquele 1 2 ali é uma constante, e, portanto, pode ir para fora da derivada, então vamos ter que:

f ' x = e x + e - x d d x 1 2

A regrinha que vamos usar aqui, se baseia na derivada da exponencial, que nos dá que a derivada de e x é igual a e x . Então, a derivada de e x sempre vai ser e x .

Mas calma, devemos lembrar também que se o expoente for negativo, temos que: a derivada de e - x é igual a - e - x .

Saber disso vai facilitar bastante a sua vida sempre que tivermos derivadas exponenciais, então guarda esse truque aí no seu caderninho e bora lá!

Então, voltando pra nossa derivada, temos que:

d d x ( e x + e - x ) d d x           →             = e x - e - x

Pronto! Agora basta reescrevermos pra obtermos a derivada da nossa função dada no enunciado!

f ' x = 1 2 ( e x - e - x )

Passo 3

Antes de irmos para o nosso próximo passo, vou reescrever a nossa fórmula do comprimento com a derivada encontrada no passo 2:

L = ∫ a b 1 + e x - e - x 2 2 d x

Agora podemos desenvolver o que está ali dentro da integral pra podermos calculá-la!

Vamos começar resolvendo o que está dentro da nossa raiz:

1 + e x - e - x 2 2 = e x + e - x 2 4

Então, a raiz disso vai ser:

e x + e - x 2 4 = e x + e - x 2

Reorganizando a nossa fórmula de comprimento L vamos ter que:

L = ∫ a b e x + e - x 2 d x

Passo 4

Já temos quase tudo que precisamos! Falta agora definirmos o valor dos limites de integração a e b ! Mas como vamos fazer isso? Temos que fazer mais conta?????

Nãoo! Não precisamos de mais contas!

Aqui vamos lembrar daquilo que falamos no passo 2. O enunciado definiu pra gente um intervalo para x, onde x ∈ [ 0 ,   2 ] .

Prontinho galera! Tão aí os nossos limites de integração!

Vamos reescrever então:

L = ∫ 0 2 e x + e - x 2 d x

Passo 5

Por fim, pra gente resolver essa integral e encontrarmos o que o exercício pede, como se trata da integral de um exponencial, sabemos que o valor de uma integral exponencial será sempre o mesmo.

Mas antes, vamos observar que temos uma constante ali na nossa integral, e que pode “ir pra fora” da integral:

L = 1 2 ∫ 0 2 e x + e - x   d x

Pronto, agora sim podemos seguir o cálculo da integral.

Como foi dito anteriormente, a integral de exponenciais sempre é a mesma:

∫ e x d x sempre será e x + C e a integral ∫ e - x d x sempre será - e - x + C .

Então, temos que:

L = 1 2 * e x - e - x 2 0

L = 1 2 e 2 - e - 2 - e 0 - e - 0

L = e 2 - e - 2 - 1 - 1

L = e 2 + e - 2 2

Ufa!! Terminamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

L = e 2 + e - 2 2

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