16 - Determine o comprimento das curvas:

b) y = x 3 2 de x = 0 a x = 4 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão, queremos obter o comprimento da curva dada por   y = x 3 2 em que x varia de 0 a 4 . Nós sabemos como calcular o comprimento de uma curva parametrizada, então o que temos que fazer é parametrizar essa curva e obter o módulo da derivada do vetor r t para aplicar na formulinha do comprimento da curva parametrizada!

C = ∫ t i t f r ' t d t

Em que t i e t f são os limites de da variação de t .

Lembra como fazemos a parametrização da curva?

Genericamente, o vetor r t é dado por r t = x t , y t .

Se chamarmos x t = t , y t = t 3 2 , logo

r t = t , t 3 2

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 2

Agora vamos derivar r t para obter r ' t

r ' t = d t d t , d t 3 2 d t

Pelo método de derivação polinomial, temos que

d t d t = t 1 - 1 = 1

d t 3 2 d t = 3 2 t 3 2 - 1 = 3 2 t 1 2

Substituindo esses resultados em r ' t ...

r ' t = 1 , 3 2 t 1 2

O próximo passo é calcular o modulo desse vetor, que obtido como um vetor qualquer, lembra?

r ' t = 1 2 + 3 2 t 1 2 2

Como a b c = a c b c e a b c = a c b c , então

r ' t = 1 + 3 2 2 2 t 2 1 2

r ' t = 1 + 9 4 t

Simplificando...

r ' t = 9 t + 4 4 = 9 t + 4 4

r ' t = 9 t + 4 2

Sacou? 😎

Passo 3

Por fim, aplicando o que descobrimos na formulinha de C , sabendo que t i e t _ f são 0 e 4 , respectivamente, já que t = x ...

C = ∫ t i t f r ' t d t → C = ∫ 0 4 9 t + 4 2 d t

Tirando a constante 1 2 para fora da integral, temos

C = 1 2 ∫ 0 4 9 t + 4 d t

Para obter essa integral, vamos usar uma substituição de variáveis, fazendo 9 t + 4 = u

Para substituir d t , derivamos u com relação a t pelo método de derivação polinomial

d u d t = d 9 t + 4 d t = 9

Isolando d t em um lado...

d u d t = 9 → d t = d u 9

E por último, temos que substituir os limites de integração para nossa nova variável

No limite superior, temos t = 4 , mas como u = 9 t + 4

u f = 9 4 + 4

u f = 40

No limite superior, temos t = 0 , logo

u i = 9 0 + 4

u i = 4

Substituindo d t por 1 9 d u , os novos limites de integração e a função de integração, temos

C = 1 2 ∫ 4 40 u 1 9 d u = 1 18 ∫ 4 40 u d u

Pelo método de integração polinomial, a integral de u é

∫ u 1 / 2 d u = u 1 2 + 1 1 2 + 1 = u 3 2 3 2

∫ u 1 / 2 d u = 2 u 3 2 3

Aplicando os limites de integração...

∫ 4 40 u d u = 2 40 3 2 3 - 2 4 3 2 3 = 160 10 3 - 16 3

Substituindo em C , temos

C = 1 18 ∫ 4 40 u d u

C = 1 18 160 10 3 - 16 3

C = 1 54 160 10 - 16

Colocando 16 em evidência em 160 10 - 16 ...

C = 16 54 10 10 - 1

C = 8 27 10 10 - 1

Portanto, vemos que o comprimento da curva que estávamos interessados é de 8 27 10 10 - 1 unidades!

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

C = 8 27 10 10 - 1

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