Enunciado

(Cap. 13.3 - Ex. 11) Seja C a curva de intersecção do cilindro parabólico x 2 = 2 y e da superfície 3 z = x y . Encontre o comprimento exato de C da origem até o ponto (6, 18, 36).

Passo 1

Fala aí, galerinha!! Tudo certinho? Bora lá resolver mais uma questão!

Esse enunciado é daqueles que dá pra gente tirar bastante informações que serão muito úteis pra conseguirmos fazer o exercício.

O objetivo aqui, é encontrar o comprimento da curva de intersecção do cilindro parabólico x 2 = 2 y e de sua superfície dada por 3 z = x y , desde sua origem, até o ponto dado. Tá, mas o que seria um cilindro parabólico?

A imagem aqui embaixo ilustra exatamente um cilindro parabólico genérico:

Passo 2

Agora que sabemos o que queremos, vamos seguir alguns passos pra encontrar o comprimento C pedido.

A primeira coisa a se fazer nesse exercício, é encontrar uma parametrização da curva C para que seja possível aplicar a fórmula de comprimento de arco posteriormente.

Essa parametrização nada mais é do que encontrar as equações paramétricas da curva.

O enunciado dá pra gente, que a projeção da curva C sobre o plano x y é a curva x 2 = 2 y ou y = 1 2 * x 2 , onde z = 0 . E nos dá também, que 3 z = x y .

Com a relação acima em mente, vamos adotar agora, como parâmetro, x = t .

Com esse parâmetro definido, podemos reescrever as componentes x   e y :

y = 1 2 x 2 = 1 2 t 2

z = x y 3 = t y 3

Como encontramos um valor de y em função de t , vamos substitui-lo também na equação de z :

z = 1 3 t 1 2 t 2 = t 3 6

Agora, para encontrarmos a equação vetorial, basta substituirmos os valores encontrados acima de x ,   y e z , de modo a se obter o seguinte:

r t = ( x ,   y ,   z )

Então, temos que a equação vetorial da curva C é dada por:

r t = t ,     t 2 2 ,     t 3 6

Passo 3

Agora, devemos encontrar os valores de t nos pontos que o enunciado pediu, a partir da equação vetorial encontrada no passo anterior.

Temos que lembrar aqui, que a origem sempre corresponde ao ponto (0, 0, 0). Então, faremos a análise de t para os seguintes pontos: P ( 0 ,   0 ,   0 ) e S ( 6 ,   18 ,   36 ) .

A relação que vamos utilizar para achar o valor de t nesses dois pontos é a seguinte:

P o n t o   P : { x t = t = 0   y t = t 2 2 = 0   z t = t 3 6 = 0  

P o n t o   S : { x t = t = 6   y t = t 2 2 = 18   z t = t 3 6 = 36  

Resolvendo acima, teremos que em P , t = 0 e em S , t = 6 . Esses valores serão nossos limites de integração, os quais serão usados na fórmula de comprimento de arco, que corresponde a:

L = ∫ a b | r ' t | d t = ∫ 0 6 | r ' t | d t

Passo 4

O próximo passo é obter r ' ( t ) , que é a derivada da equação vetorial.

Então, teremos que r ' ( t ) será:

r ' t = 1 ,     t ,     t 2 2

Obtida a derivada da curva, vamos calcular seu módulo | r ' t | . Esse módulo nada mais é, do que o módulo da raiz quadrada, da soma dos quadrados de cada um dos termos da curva derivada.

Em termos de equação, vamos ter:

r ' ( t ) = f ' t 2 + g ' t 2 + h ' t 2

Então vamos lá! Substituindo os valores da derivada da curva, temos:

r ' t = 1 2 + t 2 + t 2 2 2

r ' t = 1 + t 2 + t 4 4

r ' t = 1 + 1 2 t 2 2

r ' t = 1 + t 2 2

Passo 5

Por fim, com o valor do módulo calculado, podemos substitui-lo na fórmula do comprimento de arco mencionada no passo 3:

∫ 0 6 r ' t d t = ∫ 0 6 1 + 1 2 t 2 d t

= t + t 3 6 0 6

= 6 + 36 = 42

Pra essa questão é isso, pessoal!! Bora resolver mais uma??

Resposta

L = 42

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