(Cap. 13.3 - Ex. 13) Reparametrize a curva com relação ao comprimento de arco medido a partir do ponto onde t = 0 na direção crescente de t .

r t = 2 t   i + 1 - 3 t j + 5 + 4 t k

Passo 1

Fala aí, galerinha!! Tudo certinho? Bora lá resolver mais uma questão!

O objetivo desse exercício aqui, é parametrizar a curva, a partir do valor que encontrarmos do comprimento de arco. Esse comprimento de arco, será calculado a partir da equação que foi dada no enunciado.

Então, o primeiro passo para começarmos esse exercício aqui, é calcular a derivada r ' ( t ) da curva dada, uma vez que a fórmula do comprimento de arco se dá por: L = ∫ 0 t | r ' t | d t

Então, temos que a derivada de r ( t ) é:

r ' t = 2   i - 3 j + 4 k

Agora, precisamos calcular o módulo dessa derivada.

Tá, mas como calculamos de fato esse módulo? Ele nada mais é, do que o módulo da raiz quadrada, da soma dos quadrados de cada um dos termos da curva derivada.

Em termos de equação, vamos ter:

r ' ( t ) = f ' t 2 + g ' t 2 + h ' t 2

Então, substituindo os valores na fórmula acima, temos que:

r ' t = 2 2 + - 3 2 + 4 2

r ' t = 4 + 9 + 16

r ' t = 29

Pronto! Já temos o nosso módulo. Vamos continuar?

Passo 2

Substituindo o módulo na função comprimento de arco temos que:

L = ∫ 0 t | r ' t | d t

L = ∫ 0 t 29 d t

L = 29   t

Passo 3

Do Passo 2, obtemos:

L = 29 t       →       t = L 29

Substituindo t na equação vetorial original da curva, obtemos a reparametrização da curva que foi pedido no exercício:

r t L = 2 L 29 i + 1 - 3 L 29 j + 5 + 4 L 29 k

r s = 2 L 29 i + 1 - 3 29 L j + 5 + 4 29 L k

Uhul! Conseguimos!

Pra essa questão é isso, pessoal!! Bem tranquilo, não é mesmo? Bora resolver mais uma então??

Resposta

r s = 2 L 29 i + 1 - 3 29 L j + 5 + 4 29 L k

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