Encontre a distância percorrida por uma partícula com posição ( x ,   y ) quando t varia em um intervalo de tempo nos itens abaixo. Compare com o comprimento da curva (note que a curva pode ser fechada).

b) x t = cos 2 ⁡ t , y t = cos ⁡ t , para 0 ≤ t ≤ 4 π

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente encontrar a distância percorrida por uma partícula e comparar com o comprimento da curva percorrida por ela. Mas qual a diferença?

Bom, a curva completa é percorrida quando t vai de 0 até π , pois a partir desse valor estaremos percorrendo-a novamente.

Já a distância percorrida pela partícula se dá quando t vai de 0 a 4 π , então nossa distância será 4 vezes o comprimento da curva.

Sabemos que o comprimento de uma curva é:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2   d t

Então, é essa integral que nós vamos calcular. Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando o comprimento da curva percorrida pela partícula:

L = ∫ 0 π d x d t 2 + d y d t 2   d t

Derivando temos d d t cos 2 ⁡ t = 2 sin ⁡ t cos ⁡ t e d d t cos ⁡ t = - sin ⁡ t . Assim,

L = ∫ 0 π 2 sin ⁡ t cos ⁡ t 2 + - sin ⁡ t 2   d t

Elevando ao quadrado:

L = ∫ 0 π 4 sin 2 ⁡ t cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t   d t

Colocando sin 2 ⁡ t em evidência:

L = ∫ 0 π sin 2 ⁡ t ( 4 cos 2 ⁡ t + 1 )   d t

L = ∫ 0 π sin ⁡ t ( 4 cos 2 ⁡ t + 1 )   d t

Vamos usar duas substituições para conseguir resolver essa integral. Primeiro, vamos fazer:

u = cos ⁡ t                 d u = - s e n   t   d t

∫ 0 π sin ⁡ t ( 4 cos 2 ⁡ t + 1 )   d t =   ∫ cos ⁡ 0 cos ⁡ π - ( 4 u 2 + 1   d u = ∫ 1 - 1 - ( 4 u 2 + 1   d u

Agora, vamos trocar u = 1 2 tan ⁡ w     →         d u = 1 2 sec 2 ⁡ w   d w

∫ 1 - 1 - ( 4 u 2 + 1   d u = ∫ - ( 4 1 2 tan ⁡ w 2 + 1   1 2 sec 2 ⁡ w   d w

1 2 ∫ ( tan 2 ⁡ w + 1 sec 2 ⁡ w   d w

1 2   ∫ sec 2 ⁡ w sec 2 ⁡ w   d w

1 2 ∫ sec 3 ⁡ w   d w

Vish, a integral de sec 3 ⁡ w   é um pouco trabalhosa, como esse não é o foco da questão, vamos pular essa resolução (se você estiver com dificuldades pode dar uma olhadinha na seção que trata de integração por partes).

Voltando,

1 2 ∫ sec 3 ⁡ w   d w = 1 2 [ 1 / 2 ( sec ⁡ w tan ⁡ w + ln ⁡ | sec ⁡ w + tan ⁡ w | ) ]

= 1 4 ( sec ⁡ w tan ⁡ w + ln ⁡ | sec ⁡ w + tan ⁡ w   | )  

Voltando à nossa substituição:

u = 1 2 tan ⁡ w                

tan ⁡ w = 2 u ,         sec ⁡ w = 4 u 2 + 1  

Agora vamos trocar esses valores e calcular o valor dentro dos limites de u .

L = - 1 / 4 4 u 2 + 1 2 u + ln ⁡ 4 u 2 + 1   + 2 u 1 - 1

= - 1 4 5 ( - 2 ) + ln ⁡ 5 - 2 - 5 2 + ln ⁡ 5 + 2

= - 1 4 - 2 5 + ln ⁡ 5 - 2 - 2 5 - ln ⁡ 5 + 2 ≈ 2,9579

Esse trabalho todo foi para encontrarmos o comprimento da curva, ainda falta a distância percorrida, mas calma que agora é rapidinho. Vimos no início da questão que a distância percorrida é igual a 4 vezes o comprimento da curva, portanto, basta pegarmos 2,9579 e multiplicarmos por 4 . Assim, descobrimos que a distância percorrida foi de 11,8315

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

L = 2,9579

D = 11,8315

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