Uma curva C é parametrizada por r t = ( 5 cos ⁡ t , 5 sen ⁡ t ,   2 t ) , 0 ≤ t ≤ π . Marque a alternativa correspondente ao comprimento L da curva C e sua projeção no plano x y , respectivamente:

  1. L = 3 π e semicircunferência de raio 5 .
  2. L = 3 5 π e semicircunferência de raio √ 5 .
  3. L = 2 e semicircunferência de raio √ 5 .
  4. L = 2 π e semicircunferência de raio 5 .
  5. L = 3 π e semicircunferência de raio √ 5 .

Passo 1

A questão pede para gente calcular o comprimento de arco da curva r ( t ) , e para isso a gente tem uma fórmula: L = ∫ t 1 t 2 ‖ r ' t ‖ d t   .

Então vamos substituir os valores e usar ela.

Ela também pede a projeção dessa curva no plano x y . Vamos pensar: a gente tem uma curva com componentes x ,   y   e z e querer saber essa projeção é a mesma coisa que querer saber como ela está sendo descrita nas componentes x e y , ignorando o z . Então o que a gente vai fazer é olhar só para x ( t ) e y ( t ) para ver que curva está sendo descrita por eles.

Passo 2

Para achar o comprimento do arco a gente precisa saber o t inicial e o final dessa curva. O enunciado já dá para a gente 0 ≤ t ≤ π , assim t 1 = 0 e t 2 = π .

Passo 3

Agora a gente precisa calcular o vetor tangente à curva r ' t e tirar o módulo dele.

Derivando r ( t ) :

r ' t = ( -   5 sen ⁡ t   ,   5 cos ⁡ t ,   2 )

Calculando o módulo:

r ' t = - 5 sen ⁡ t 2 + 5 cos  ⁡ t 2 +   2 2 = 5 sen 2 ⁡ t   +   5 cos 2 ⁡ t + 4 = 5   sen 2 ⁡ t   + cos 2 ⁡ t +   4 = 5   1 +   4 = 9 = 3

Passo 4

Substituindo esses valores na nossa fórmula:

L =   ∫ 0 π 3 d t = 3 t   ​ 0 π = 3 π    

Passo 5

Agora vamos olhar para x ( t ) e y ( t ) e identificar que curva eles descrevem no plano x y .:

x t = 5 cos ⁡ t ,     y t =   5 sen ⁡ t

Isso é a parametrização de uma circunferência de raio √ 5 e centro (0,0). Como 0 ≤ t ≤ π , temos só é a metade dessa curva, logo uma semicircunferência.

Portanto, nossa alternativa certa é a letra e.

Resposta

Letra e.

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