Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.33. questão 2.

Uma curva tem equação y 2 = x ³ . Encontre o comprimento da curva do ponto ( 1 , - 1 ) ao ponto ( 1,1 ) .

Passo 1

Bom, essa curva não está parametrizada. Então, devemos parametrizá-la. Para isso, observe que

x = y 2 3

Podemos então usar a parametrização natural, fazendo:

y t = t

x t = t 2 3

Agora temos a curva

σ t = t 2 3 , t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Precisamos encontrar ainda t 1 e t 2 . Observe que a questão pede o comprimento do ponto ( 1 , - 1 ) ao ponto ( 1,1 ) . Então, em t 1 a curva está no ponto ( 1 , - 1 ) e em t 2 , esta no ponto ( 1,1 ) . Então

t 1 2 3 = 1

t 1 = - 1

E

t 2 2 3 = 1

t 2 = 1

Passo 3

Agora vamos calcular σ ' ( t ) :

σ t = t 2 3 , t

σ ' t = 2 3 t - 1 3 , 1

σ ' ( t ) = 2 3 t - 1 3 2 + 1 2 = 4 9 t - 2 3 + 1

- ''

Passo 4

Pronto, agora só substituir na fórmula

L = t 1 t 2 σ ' ( t )   d t

L = - 1 1 4 9 t - 2 3 + 1   d t = - 1 1 4 + 9 t 2 3 9 t 2 3   d t = - 1 1 4 + 9 t 2 3 3 t 1 3   d t

L = 1 3 - 1 1 4 + 9 t 2 3 t 1 3   d t = 1 3 - 1 0 - 4 + 9 t 2 3 t 1 3   d t + 0 1 4 + 9 t 2 3 t 1 3   d t

L = 1 3 - 1 0 - 4 + 9 t 2 3 t 1 3   d t + 0 1 4 + 9 t 2 3 t 1 3   d t

L = 1 3 ( - 1 9 4 + 9 t 2 3 3 2 0 - 1 + 1 9 4 + 9 t 2 3 3 2 1 0

L = 1 3 . 1 9 4 + 9 t 2 3 3 2 1 0 - 4 + 9 t 2 3 3 2 0 - 1

L = 1 27 13 13 - 64 - 64 - 13 13 = 1 27 2.13 13 - 2.8

L = 2 27 13 13 - 8

Resposta

L = 2 27 13 13 - 8

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