Determine o comprimento da astroïde parametrizada por

x t = cos 3 ⁡ ( t ) y t = sen 3 ⁡ ( t )     ,   0 ≤ t ≤ 2 π    

(a) 2 π

(b) 3 2 2 - 1

(c) 6

(d) 8

(e) 5 π 2

Passo 1

Vou chamar a parametrização do astroïde de γ ( t ) , beleza? Assim γ t = cos 3 ⁡ ( t ) , sen 3 ⁡ ( t ) .

Então nessa questão precisamos calcular o comprimento de arco de γ entre os tempos t = 0 e t = 2 π ! Aplicando a fórmula, temos

L = ∫ 0 2 π γ ' t d t

Então vamos calcular essa derivada! Com a regra da cadeia, vamos ter

γ ' t = 3 cos 2 ⁡ t . - sen ⁡ t ,   3 sen 2 ⁡ t . cos ⁡ t

Logo:

γ ' t = - 3 sen ⁡ t cos 2 ⁡ t 2 + 3 cos ⁡ t sen 2 ⁡ t 2

⇒     γ ' t = 9 sen 2 ⁡ t cos 4 ⁡ t + 9 cos 2 ⁡ t sen 4 ⁡ t

⇒     γ ' t = 9 sen 2 ⁡ t cos 2 ⁡ t cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t

E como cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 1 , isso vai dar

γ ' t = 9 sen 2 ⁡ t cos 2 ⁡ t

⇒   γ ' t = 3 sen ⁡ t cos ⁡ t

Passo 2

Excelente! Agora basta calcular a integral:

L = ∫ 0 2 π γ ' t d t

⇒   L = ∫ 0 2 π 3 sen ⁡ t cos ⁡ t d t

Vamos fazer

3 sen ⁡ t cos ⁡ t = 3 2 2 sen ⁡ t cos ⁡ t = 3 2 sen ⁡ 2 t  

Então o comprimento é:

L = 3 2 ∫ 0 2 π sen ⁡ 2 t d t

Passo 3

Temos que analisar o sinal de sen ⁡ ( 2 t )   de 0 a 2 π :

Logo, a integral pode ser dividida em:

L = 3 2 ∫ 0 π 2 sen ⁡ 2 t d t - ∫ π 2 π sen ⁡ 2 t d t + ∫ π 3 π 2 sen ⁡ 2 t d t - ∫ 3 π 2 2 π sen ⁡ 2 t d t

⇒ L = 3 2 - cos ⁡ 2 t 2 0 π 2 + cos ⁡ 2 t 2 π 2 π - cos ⁡ 2 t 2 π 3 π 2 + cos ⁡ 2 t 2 3 π 2 2 π

Passo 4

Vou calcular os termos separadamente pra não ficar muito confuso, beleza?

- cos ⁡ 2 t 2 0 π 2 = - cos ⁡ π + c o s ⁡ ( 0 ) 2 = 2 2 = 1

cos ⁡ 2 t 2 π 2 π = cos ⁡ 2 π - cos ⁡ π 2 = 2 2 = 1

- cos ⁡ 2 t 2 π 3 π 2 = - cos ⁡ 3 π + cos ⁡ 2 π 2 = 2 2 = 1

cos ⁡ 2 t 2 3 π 2 2 π = cos ⁡ 4 π - cos ⁡ 3 π 2 = 2 2 = 1

Ufa! Então o comprimento é:

L = 3 2 1 + 1 + 1 + 1 = 3 2 . 4 = 6

Aee, então a alternativa certa é a (c)!

Resposta

Alternativa (c)

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