Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco

UFRJ, Cálculo Diferencial e Integral 2, P1 2014.2, questão múltipla escolha 5

Uma partícula se move numa hélice com vetor posição no tempo t , r t = cos t , sen t ,   2 t ,     t 0 . Qual é o tempo para que a distância percorrida seja 3 π ?

(a) 3 π 2

(b) 3 5 π

(c) 3 π 5

(d) 6 π

(e) 3 π

Passo 1

Queremos o tempo para que a distância percorrida seja 3 π , certo? Mas essa distância nada mais é que o comprimento de arco da hélice do tempo inicial t = 0 até o tempo que procuramos, que podemos chamar de t 1 .

Portanto, pela fórmula do comprimento de arco:

0 t 1 r ' ( t ) d t = 3 π

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos calcular r ' ( t ) :

r t = cos t , sen t ,   2 t

r ' t = - sen t , cos t , 2

Então o módulo de r ' ( t ) é:

r ' ( t ) = - sen t 2 + cos 2 t + 2 2

  r ' ( t ) = sen 2 t + cos 2 t + 4

  r ' ( t ) = 5

Passo 3

Show! Voltando à fórmula do comprimento de arco:

0 t 1 r ' ( t ) d t = 3 π

  0 t 1 5 d t = 3 π

5 t 0 t 1 = 3 π

5 t 1 = 3 π

t 1 = 3 π 5

Resposta

Alternativa (c)

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas