Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.33. questão 5.

Uma partícula se move ao longo de uma curva definida por

σ t = t - s e n   t ,   1 - cos t ,   0 t 2 π

  1. Determine os instantes t 1 e t 2 [ 0,2 π ] em que v t = 1 .
  2. Calcule o espaço percorrido pela partícula no intervalo de tempo [ t 1 , t 2 ] .

Passo 1

a )

Calculando v ( t ) :

v t = σ ' t = ( 1 - cos t , s e n   t )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para saber em que instantes v t = 1 precisamos calcular a velocidade escalar da partícula e igualar a 1.

v t = 1 - cos t 2 + s e n   t 2 = 1 - 2 cos t + c o s 2 t + s e n 2 t = 2 - 2 cos t

Passo 3

Igualando a 1:

2 - 2 cos t = 1

2 - 2 cos t = 1 2 = 1

- 2 cos t = - 1

cos t   = 1 2

t = n π 3

Mas, como t [ 0,2 π ] :

t 1 = π 3

t 2 = 5 π 3

Passo 4

b )

Para achar o espaço percorrido pela partícula, basta calcularmos o comprimento da curva que modela a trajetória da partícula.

L = t 1 t 2 σ ' ( t ) d t

σ ' ( t ) = v t = 2 - 2 cos t

t 1 = π 3

t 2 = 5 π 3

Passo 5

Substituindo nossos dados na fórmula e desenvolvendo as contas:

L = π 3 5 π 3 2 - 2 cos t d t = 4 3

Resposta

  1. t 1 = π 3 e t 2 = 5 π 3
  2. L = 4 3

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