6) Em cada uma das equações abaixo, determine o maior subconjunto de R sobre o qual a equação faz sentido, conforme exemplos (a), (b) e (c):

a) x = x 2 - 1

x ∈ 0 , ∞

b) x x - 1 = x 2 - 1 x + 1

x ∈ R - - 1,1 = - ∞ , - 1 ∪ - 1,1 ∪ 1 , ∞

c) x + 3 7 = x 2 - x + 18

x ∈ R

d) x + 1 x - 1 + 2 x - 3 2 x - 4 = 1 x 2 - 1

e) x - x + 1 x - 1 + 2 x - 3 2 x - 4 = 1 x 2 - 1

f) x x = x 2 - 3

g) x 2 x 2 + 1 = x 2 + x 4

Passo 1

Falaiii...

Nessa questão vamos determinar o maior subconjunto dos reais sobre o qual a equação faça sentido, conforme os exemplos.

Pra isso temos que lembrar que não existe raiz de números negativos e, por isso, na letra (a) o subconjunto é o dos números positivos.

Também que não existe divisão por zero e, por isso, na letra (b) o subconjunto é o conjunto dos reais menos os dois números que deixam as frações com denominador igual a zero.

Caso não tenha nenhuma condição que não posso, fica o conjunto todo dos reais, como na letra (c).

Passo 2

d) x + 1 x - 1 + 2 x - 3 2 x - 4 = 1 x 2 - 1

Vamos achar quais os números que deixam as frações com denominadores iguais a zero.

x - 1 = 0 → x = 1

2 x - 4 = 0 → x = 2

x 2 - 1 = 0 → x = ± 1

Então:

x ∈ R - - 1,1 , 2 = - ∞ , - 1 ∪ - 1,1 ∪ 1,2 ∪ 2 , ∞

e) x - x + 1 x - 1 + 2 x - 3 2 x - 4 = 1 x 2 - 1

Nessa, além de achar os números que deixam os denominadores das frações iguais a zero também só vamos ter os números positivos, porque não existe raiz de número negativo no conjunto dos reais.

x - 1 = 0 → x = 1

2 x - 4 = 0 → x = 2

x 2 - 1 = 0 → x = ± 1

Então:

x ∈ 0,1 ∪ 1,2 ∪ 2 , ∞

Passo 3

f) x x = x 2 - 3

Nessa o x só não pode ser igual a zero, né? Por causa da fraçãozinha ali...

Então:

x ∈ R - 0 = - ∞ , 0 ∪ 0 , ∞

g) x 2 x 2 + 1 = x 2 + x 4

Ohhh... essa tem uma pegadinhazinha, heim!??

Temos uma fração ali, então o denominador não pode ser zero, certo??

Mas repara que se fizermos x 2 + 1 = 0 não vamos ter valores reais (somente aqueles imaginários e tals)... então tá valendo pra todo valor de x .

Então:

x ∈ R

Resposta

d) x ∈ R - - 1,1 , 2 = - ∞ , - 1 ∪ - 1,1 ∪ 1,2 ∪ 2 , ∞

e) x ∈ 0,1 ∪ 1,2 ∪ 2 , ∞

f) x ∈ R - 0 = - ∞ , 0 ∪ 0 , ∞

g) x ∈ R

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