19. Cada um dos exercícios a) - h) dá uma função f x e números L , x 0 e ϵ > 0 . Em cada caso, determine um intervalo aberto em torno de x 0 em que a desigualdade f x - L < ϵ seja verdadeira. Dê então um valor para δ > 0 tal que, para todo x satisfazendo 0 < x - x 0 < δ , a desigualdade f x - L < ϵ seja verdadeira.

d) f x   = 1 x , L = 1 4 , x 0 = 4 , ϵ = 0,05

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão foi dada uma função f x , um valor de L , x 0 e ϵ . Com esses dados, temos que determinar um intervalo em que f x - L < ϵ em torno de x 0 e assim, obter um valor de δ , tal que δ > 0 que satisfaça a relação 0 < x - x 0 < δ .

Ou seja, primeiro obtemos o intervalo de x que satisfaz f x - L < ϵ e depois obtemos outro intervalo de x dependente de δ , dado por 0 < x - x 0 < δ ou - δ < x - x 0 < δ e comparamos os dois intervalos para obter um valor para δ .

Parece difícil? Bora começar! 😁

Passo 2

Podemos reescrever a inequação f x - L < ϵ como

- ϵ < f x - L < ϵ

Nesse caso, f x = 1 x , L = 1 4 e ϵ = 0,05 , ou seja

- 0,05 < 1 x - 1 4 < 0,05

Vamos tentar isolar x no meio da desigualdade

- 0,05 + 1 4 < 1 x - 1 4 + 1 4 < 0,05 + 1 4

1 5 < 1 x < 3 10

Aplicando o inverso nessa inequação...

10 3 < x < 5

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 3

Agora vamos calcular o valor de δ !

- δ < x - x 0 < δ

Se x 0 = 4 , então

- δ < x - 4 < δ

- δ + 4 < x < δ + 4

Comparando as duas inequações, temos

10 3 < x < 5 - δ + 4 < x < δ + 4

Ou seja, podemos dizer que

10 3 = - δ + 4 → δ = 2 3

5 = δ + 4 → δ = 1

Assim temos duas opções para δ , porém, se assumirmos que δ = 1 , a primeira inequação será corrompida, então por isso vamos assumir o menor valor

δ = 2 3

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

δ = 2 3

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Sejam x , y dois reais quaisquer, com 0xy . Proveroot(3)(y - x)root(3)(y) - root(3)(x)
Seja ϵ0 um real dado. Prove que quaisquer que sejam os reais positivos x e y , tem-se: x - yϵ 2 ⇒ x - yϵ
Determine uma aproximação por volta, com duas casas casas decimais exatas, de 10 3 .
A afirmação:“para todo real x ≥ 0 , x ≥ x ”é falsa ou verdadeira? Justifique.
Prove que é irracional.(a) sqrt(6) (b) sqrt(2) + sqrt(3)