Exercícios Resolvidos de Conjuntos Numéricos

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Enunciado

Descreva os conjuntos abaixo na forma construtiva:

a   { n ∈ N |   n   é   d i v i s í v e l   p o r   5 }

b   { - 1 ,   3 ,   7 ,   11 ,   15 }

c   { 1 ,   3 ,   5 ,   7 ,   9 ,   … }

Passo 1

Oláááá!!! Bom, vamos começar do começo, ok? Rs

No enunciado, ele pede para colocar na forma construtiva. Você lembra de como é essa forma? Eu te digo! Basicamente é assim:

{ e x p r e s s ã o   c o m   l e t r a s |   d o m í n i o c o n j u n t o   o n d e   m o r a m   d a s   l e t r a s }

Na letra ( a ) , temos o seguinte:

{ n ∈ N |   n   é   d i v i s í v e l   p o r   5 }

Traduzindo:

{ 0 ,   5 ,   10 ,   15 ,   20 ,   … }

Para ser divisível por 5 , é necessário que o número seja múltiplo do mesmo. Então podemos escrever assim:

{ 5 n |   n ∈ N }

Passo 2

b   { - 1 ,   3 ,   7 ,   11 ,   15 }

Nessa aqui eu vou te dar uma ajudinha... Sabe o que esses números têm em comum? Saca só:

- 1 = 4 × - 1 + 3

3 = 4 × 0 + 3

7 = 4 × 1 + 3

11 = 4 × 2 + 3

15 = 4 × 3 + 3

Parece voodoo né? Mas relaxa, você pega a manha com o tempo e a prática!

Vamos tentar entender o que acabou agora há pouco: todos esses números do conjunto podem ser escritos como

4 × a l g u m   n ú m e r o + 3

Mas que números são esses? Vou chamar de n e temos que:

- 1 ≤ n ≤ 3

Desde que n ∈ Z . Então a resposta é:

{ 4 n + 3 |   n ∈ Z   e - 1 ≤ n ≤ 3 }

Passo 3

c   { 1 ,   3 ,   5 ,   7 ,   9 ,   … }

Aaaaaaaah esse conjunto aqui é muito famoso! Fica ligado 😉

Perceba que o que temos ali são apenas números ímpares e positivos. Mas como a gente representa isso?

Vamos pensar primeiro em números pares. Todo número par é divisível por 2 , e para ser divisível por 2 , ele precisa ser múltiplo de 2 .

{ 0 ,   2 ,   4 ,   6 ,   8 ,   … }

Então a representação em conjunto dos números pares e positivos na forma construtiva é:

{ 2 n |   n ∈ N }

Ora, nós sabemos que números ímpares NÃO s��o divisíveis por 2 , e os números divisíveis por 2 andam de dois em dois. Sendo assim, a gente só precisa acrescentar 1 ao 2 n , ficando com:

{ 2 n + 1 |   n ∈ N }

Meu anjo, GUARDA essas representações de par e ímpar positivos NO SEU SANGUE!

Resposta

a   { 5 n |   n ∈ N }

b   { 4 n + 3 |   n ∈ Z   e - 1 ≤ n ≤ 3 }

c   { 2 n + 1 |   n ∈ N }

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