19. Cada um dos exercícios a) - h) dá uma função f x e números L , x 0 e ϵ > 0 . Em cada caso, determine um intervalo aberto em torno de x 0 em que a desigualdade f x - L < ϵ seja verdadeira. Dê então um valor para δ > 0 tal que, para todo x satisfazendo 0 < x - x 0 < δ , a desigualdade f x - L < ϵ seja verdadeira.

c) f x   = x - 7 , L = 4 , x 0 = 23 , ϵ = 1

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão foi dada uma função f x , um valor de L , x 0 e ϵ . Com esses dados, temos que determinar um intervalo em que f x - L < ϵ em torno de x 0 e assim, obter um valor de δ , tal que δ > 0 que satisfaça a relação 0 < x - x 0 < δ .

Ou seja, primeiro obtemos o intervalo de x que satisfaz f x - L < ϵ e depois obtemos outro intervalo de x dependente de δ , dado por 0 < x - x 0 < δ ou - δ < x - x 0 < δ e comparamos os dois intervalos para obter um valor para δ .

Parece difícil? Bora começar! 😁

Passo 2

Podemos reescrever a inequação f x - L < ϵ como

- ϵ < f x - L < ϵ

Nesse caso, f x =   x - 7 , L = 4 e ϵ = 1 , ou seja

- 1 < x - 7 - 4 < 1

Vamos isolar x no centro da desigualdade

- 1 + 4 < x - 7 - 4 + 4 < 1 + 4

- 3 < x - 7 < 5

Elevando todos os lados ao quadrado para eliminar a raiz...

- 3 2 < x - 7 2 < 5 2

9 < x - 7 < 25

9 + 7 < x - 7 + 7 < 25 + 7

16 < x < 32

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora vamos obter o valor de δ !

- δ < x - x 0 < δ

Como x 0 = 23 , então

- δ < x - 23 < δ

- δ + 23 < x < δ + 23

Assim, comparando as duas inequações de x , temos

16 < x < 32 - δ + 23 < x < δ + 23

Ou seja

16 = - δ + 23 → δ = 7

32 = δ + 23 → δ = 9

Temos dois valores para δ , porém, se assumirmos que δ = 9 , a primeira inequação será corrompida, portanto vamos afirmar que

δ = 7

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

δ = 7

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Sejam x , y dois reais quaisquer, com 0xy . Proveroot(3)(y - x)root(3)(y) - root(3)(x)
Seja ϵ0 um real dado. Prove que quaisquer que sejam os reais positivos x e y , tem-se: x - yϵ 2 ⇒ x - yϵ
Determine uma aproximação por volta, com duas casas casas decimais exatas, de 10 3 .
A afirmação:“para todo real x ≥ 0 , x ≥ x ”é falsa ou verdadeira? Justifique.
Prove que é irracional.(a) sqrt(6) (b) sqrt(2) + sqrt(3)