Prove que existe um único c ∈ R tal que cos ⁡ c π 2 = 2 - 3 c .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para provar que existe um número c real que satisfaça a seguinte igualdade:

cos ⁡ c π 2 = 2 - 3 c

Para provarmos isso, podemos aplicar o Teorema de Existência e Unicidade de Zero de Funções.

Esse teorema diz o seguinte:

“Suponha que f é uma função contínua definida em um intervalo fechado a , b e que f a e f b tem sinais opostos. Então, existe pelo menos um valor c no intervalo aberto a , b para o qual f c = 0 . Além disso, se f é diferenciável em a , b e f ' x ≠ 0 para todo x nesse intervalo, então o valor c é único”.

Eita... muita coisa né?

Mas não se desespere não!! Vamos devagarinho que vai dar certo!!!

Mas antes, vamos definir o seguinte... Seja f c a nossa função que é dada por:

f c = cos ⁡ c π 2 - 2 - 3 c

Observe que f ( c ) é uma função contínua em todo R , pois c o s c π 2 e 2   -   3 c são funções contínuas.

Agora bora lá aplicar esse Teorema!!

😉

Passo 2

Assim, primeiramente, vamos verificar a existência de um valor c tal que f c = 0 .

Observe que:

f 0 = cos ⁡ 0 * π 2 - 2 - 3 * 0 ∴

f 0 = 1 - 2 ∴

f 0 = - 1

Logo, percebe-se que f 0 < 0 .

E, por outro lado:

f 1 = cos ⁡ 1 * π 2 - 2 - 3 * 1 ∴

f 1 = 0 - - 1 ∴

f 1 = 1

Logo, percebe-se que f 1 > 0 .

Nesse sentido, pelo Teorema do Valor Intermediário, concluímos que existe pelo menos um valor c no intervalo aberto 0,1 para o qual f c = 0 .

Assim, a existência de c é estabelecida!

Agora, precisamos provar que esse c é único!

Passo 3

Agora, suponha que existam dois valores distintos c 1 e c 2 tais que:

f c 1 = f c 2 = 0

Isso significa dizer que:

cos ⁡ c 1 π 2 - 2 - 3 c 1 = 0

E

cos ⁡ c 2 π 2 - 2 - 3 c 2 = 0

Bom... Sabemos que a função cosseno é limitada no intervalo [ - 1,1 ] , enquanto a função 2 - 3 c é ilimitada. Portanto, não é possível que ambos os valores c 1 e c 2 ​ satisfaçam as equações acima.

Dessa forma, provamos que o c é único!!

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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