19. Cada um dos exercícios a) - h) dá uma função f x e números L , x 0 e ϵ > 0 . Em cada caso, determine um intervalo aberto em torno de x 0 em que a desigualdade f x - L < ϵ seja verdadeira. Dê então um valor para δ > 0 tal que, para todo x satisfazendo 0 < x - x 0 < δ , a desigualdade f x - L < ϵ seja verdadeira.

e) f x   = x 2 , L = 4 , x 0 = - 2 , ϵ = 0,5

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão foi dada uma função f x , um valor de L , x 0 e ϵ . Com esses dados, temos que determinar um intervalo em que f x - L < ϵ em torno de x 0 e assim, obter um valor de δ , tal que δ > 0 que satisfaça a relação 0 < x - x 0 < δ .

Ou seja, primeiro obtemos o intervalo de x que satisfaz f x - L < ϵ e depois obtemos outro intervalo de x dependente de δ , dado por 0 < x - x 0 < δ ou - δ < x - x 0 < δ e comparamos os dois intervalos para obter um valor para δ .

Parece difícil? Bora começar! 😁

Passo 2

Podemos reescrever a inequação f x - L < ϵ como

- ϵ < f x - L < ϵ

Nesse caso, f x = x 2 , L = 4 e ϵ = 0,5 , ou seja

- 0,5 < x 2 - 4 < 0,5

Vamos tentar isolar x no centro das desigualdades

- 0,5 + 4 < x 2 - 4 + 4 < 0,5 + 4

3,5 < x 2 < 4 , 5

Tirando a raiz de todos os lados para eliminar o expoente 2 do x

3,5 < x 2 < 4,5

3,5 < x < 4,5

Porém nesse caso, x 0 = - 2 e está fora do nosso intervalo de x , então vamos considerar o intervalo negativo devido as operações que fizemos...

- 4,5 < x < - 3,5

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora vamos obter o valor de δ !

- δ < x - x 0 < δ

Se x 0 = - 2 , então

- δ < x - - 2 < δ

- δ < x + 2 < δ

- δ - 2 < x < δ - 2

Comparando as duas desigualdades, temos

- 4,5 < x < - 3,5 - δ - 2 < x < δ - 2

Podemos tirar que

- 4,5 = - δ - 2 → δ = 0,12

- 3,5 = δ - 2 → δ = 0,12

Então encontramos que

δ = 0,12

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

δ = 0,12

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Seja ϵ0 um real dado. Prove que quaisquer que sejam os reais positivos x e y , tem-se: x - yϵ 2 ⇒ x - yϵ
Determine uma aproximação por volta, com duas casas casas decimais exatas, de 10 3 .
A afirmação:“para todo real x ≥ 0 , x ≥ x ”é falsa ou verdadeira? Justifique.
Prove que é irracional.(a) sqrt(6) (b) sqrt(2) + sqrt(3)