Exercícios Resolvidos de Conjuntos Numéricos

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Enunciado

Diga se é verdadeira ou falsa cada proposição abaixo:

a   5 ∈ N

b   7 ∈ Q

c π 2 ∈ Q

d   2 ∈ Z

e   0,1313 … ∈ Z

f   0 ∈ Z *

g   0 ∈ Q

h   2 ∈ ( R - Q )

i   π ∈ Z _

j   41 ∈ Z +

Passo 1

Como eu sempre digo, bora começar pelo começo! A primeira afirmativa é a seguinte:

a   5 ∈ N

E aí, pequeno gafanhoto? O que acha? V ou F?

Cara, vamos relembrar qual a característica dos números naturais!

N = { 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   5 ,   6 ,   … }

É o conjunto dos números inteiros não-negativos. Então o 5 realmente pertence a esse conjunto, já que ele é um número inteiro e não-negativo.

Portanto, a afirmação é verdadeira.

Passo 2

Próxima é o seguinte:

b   7 ∈ Q

Bora relembrar qual a características dos números racionais!

Todo número racional pode ser representado como:

a b     ,     a ∈ Z   e   b ∈ Z *

Ou seja, como uma fração de números inteiros, MAS o denominador tem que ser DIFERENTE de zero.

Olha só o que temos:

7 = 7 1

Concorda comigo? Então sim, 7 pertence aos racionais!

Portanto, a afirmação é verdadeira.

Passo 3

Dá uma olhada nessa:

c   π 2 ∈ Q

Cara, tem uma leve pegadinha nessa aqui!

Novamente, bora relembrar qual a características dos números racionais!

Todo número racional pode ser representado como:

a b     ,     a ∈ Z   e   b ∈ Z *

Ou seja, como uma fração de números inteiros, MAS o denominador tem que ser DIFERENTE de zero.

Olha só o que temos:

π 2

Ué, então tá certo, não? NÃO! Fique atento! Primeiramente:

π = 3,14159 …

Ou seja, ele não é inteiro. PORÉM, a principal característica aqui é que ele é um número IRRACIONAL, ou seja, pertence ao conjunto ( R - Q ) . Isso quer dizer que não conseguimos representa-lo como fração.

E uma divisão de um número irracional por um número inteiro, continua sendo um número irracional.

Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 4

Bora pra próxima:

d   2 ∈ Z

Olha só o conjunto dos números inteiros:

Z = { … ,   - 3 ,   - 2 ,   - 1 ,   0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   … }

Ou seja, os números pulam de um em um e NÃO temos números decimais (vulgo número com vírgula).

Olha o que a gente tem:

2 = 1,4142 …

Opa, temos uma vírgula ali com números naturais depois dela. Ou seja, esse número não é inteiro!

Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 5

Chegamos na metade, força!

e   0,1313 … ∈ Z

Cara, novamente temos a mesma situação.

Olha só o conjunto dos números inteiros:

Z = { … ,   - 3 ,   - 2 ,   - 1 ,   0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   … }

Ou seja, os números pulam de um em um e NÃO temos números decimais (vulgo número com vírgula).

Olha o que a gente tem:

0,1313 …

Opa, temos uma vírgula ali com números naturais depois dela. Ou seja, esse número não é inteiro!

Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 6

Olha essa aqui:

f   0 ∈ Z *

Aaaaaah, aqui nós temos uma notação!

Saca só o que vou escrever:

Z = … ,   - 3 ,   - 2 ,   - 1 ,   0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   …

Z * = { … ,   - 3 ,   - 2 ,   - 1 ,   1 ,   2 ,   3 ,   … }

Sacou? Quando tem um asterisco no conjunto, você precisa tirar o zero desse conjunto e tchã-rã! Vida que segue.

Então o que temos é que o 0 NÃO pertence ao conjunto Z * , concorda comigo?

Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 7

A próxima diz o seguinte:

g   0 ∈ Q

“Ah, essa aqui eu já respondo que é falsa!”

Calma, amigx. Vamos dar uma olhada novamente na definição desse conjunto.

Todo número racional pode ser representado como:

a b     ,     a ∈ Z   e   b ∈ Z *

Ou seja, como uma fração de números inteiros, MAS o denominador tem que ser DIFERENTE de zero.

Olha só o que temos:

0 = 0 1

Concorda? O zero pode ser representado como fração, basta colocar qualquer número inteiro diferente de dele mesmo no denominador, como por exemplo:

0 1 = 0 2 = 0 50 = …

Então a afirmação é verdadeira.

Passo 8

Força que já está acabando! Dá uma olhada:

h   2 ∈ ( R - Q )

Você lembra que conjunto é esse: ( R - Q ) ???

Cara, o conjunto dos números reais é construído através da união dos conjuntos racionais e irracionais.

Se aquela expressão diz que estou tirando os números racionais dos números reais, quer dizer que restaram apenas os números irracionais!

Logo, é o conjunto dos números irracionais. E nesse conjunto, tem-se que os números NÃO podem ser escritos como fração de números inteiros.

O que temos é:

2 = 1,4142 …

Ou seja, é uma dízima não periódica, então não conseguimos representa-la como fração. Então ele realmente pertence ao conjunto dos números irracionais.

Portanto, a afirmação é verdadeira.

Passo 9

A próxima diz o seguinte:

i   π ∈ Z _

Aaaaaah, aqui nós temos uma notação!

Saca só o que vou escrever:

Z = … ,   - 3 ,   - 2 ,   - 1 ,   0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   …

Z - = { … ,   - 3 ,   - 2 ,   - 1 ,   0 }

Sacou? Quando tem um menos no conjunto, você precisa tirar todos os números positivos desse conjunto e tchã-rã! Lembrando que zero é neutro, então ele permanece! Vida que segue.

Temos o seguinte:

π = 3,14159 …

Ora, o π nem é inteiro nem é não-positivo!

Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 10

É a últimaaaaaa!!! Tá quase acabando!

j   41 ∈ Z +

Aaaaaah, aqui nós temos uma notação!

Saca só o que vou escrever:

Z = … ,   - 3 ,   - 2 ,   - 1 ,   0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   …

Z - = { 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   … }

Sacou? Quando tem um menos no conjunto, você precisa tirar todos os números negativos desse conjunto e tchã-rã! Lembrando que zero é neutro, então ele permanece! Vida que segue.

Ora, 41 é um número inteiro e é não-negativo.

Portanto, a afirmação é verdadeira.

Resposta

a   V

b   V

c   F

d   F

e   F

f   F

g   V

h   V

i   F

j   V

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