Sejam Y e Z expressões algébricas em na variável x e considere os conjuntos A = x ∈ R     Y = Z } , B = x ∈ R     Y ≠ Z } , C = x ∈ R     Y < Z } , D = x ∈ R     Y > Z } , E = x ∈ R     Y ≤ Z } e F = x ∈ R     Y ≥ Z } . Diga quais itens são verdadeiros ou falsos, corrigindo os itens falsos:

a) A ∩ B = ∅

b) C ∩ D = ∅

c) E ∩ F = ∅

d) C ∩ F = ∅

e) A ⊂ C

f) ) A ⊂ F

g) ) D ⊂ F

h) ) E ⊂ F

i) )   F ⊂ B

j) ) D ⊂ B

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu alguns conjuntos, A , B , C , D , E e F , e pediu pra gente verificar algumas relações de inclusão e de interseção entre eles.

Pra isso, nós vamos analisar os elementos que compõe o conjunto e tentar relacioná-los de acordo com a condição que foi dada em cada item.

Vamos lá!

Passo 2

No item a), nós temos a interseção de dois conjuntos, que resulta no conjunto vazio, A ∩ B = ∅ . A interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertecem simultânemente a A e a B .

Mas no conjunto A , temos Y = Z , e no conjunto B temos Y ≠ Z . Então, os elementos do conjunto A são todos diferentes dos elementos do conjunto B . Como não existem elementos que possuem simultaneamente a ambos, a interseção entre eles é de fato o conjunto vazio. Assim,

A ∩ B = ∅ → v e r d a d e i r o

Passo 3

No item b), nós temos outra interseção envolvendo os conjuntos C e D , que resulta no conjunto vazio, C ∩ D = ∅ .

No conjunto C , nós temos todos os elementos de Y que são menores do que Z , Y < Z . E no conjunto D , nós temos todos os elementos de Y que são maiores do que Z , Y > Z .

Como não dá pra ser menor que Z e maior que Z ao mesmo tempo, os conjuntos não possuem elementos iguais, e por isso a interseção entre eles é mesmo igual ao conjunto vazio.

C ∩ D = ∅ → v e r d a d e i r o

Passo 4

No item c), temos E ∩ F = ∅ . O conjunto E inclui todos os elementos que são menores ou iguais a Z , Y ≤ Z . O conjunto F inclui todos os elementos de Y que são maiores ou iguais a Z .

Como Y = Z aparece nos dois conjuntos, eles teriam elementos que pertencem simultaneamente a ambos. Logo, a interseção entre ele não é igual ao conjunto vazio. Temos:

E ∩ F = ∅ → f a l s o

E E ∩ F = x ∈ R     Y = Z } .

Passo 5

Na letra d), temos C ∩ F = ∅ . O conjunto C inclui todos os elementos Y que são menores do que Z , ( Y < Z ). O conjunto F inclui todos os elementos Y que são maiores ou iguais a Z ( Y ≥ Z ).

Como não dá pra ter elementos menores do que Z e maiores do que Z ao mesmo tempo, e que o conjunto C não inclui Y = Z , então a interseção entre eles é realmente igual ao conjunto vazio:

C ∩ F = ∅ → v e r d a d e i r o

Passo 6

Na letra e), temos A ⊂ C , que é uma relação de inclusão. A gente diz que o conjunto A tá contido num conjunto C se, e somente se, todo elemento de A também é um elemento de C .

Olhando pra o conjunto A , nós temos Y = Z . No conjunto C , nós temos Y < Z . Então, os conjuntos não têm elementos em comum, e não podemos dizer que A está contido em C .

A ⊂ C → f a l s o

Seria A ⊄ C , lê-se A não está conjunto em C .

Passo 7

Na letra f), temos A ⊂ F . Pra saber se os elementos de A estão realmente contidos em F , vamos olhar cada conjunto separadamente. No conjunto A , temos Y = Z . No conjunto F temos Y ≥ Z .

Como no conjunto F , os elementos Y são maiores ou iguais a Z , e no conjunto A temos os elementos Y iguais a Z , então de fato os elementos de A também fazem parte do conjunto F . E podemos afirmar:

A ⊂ F → v e r d a d e i r o

Passo 8

Na letra g), temos D ⊂ F .

Nós vimos no passo anterior que o conjunto F é definido pelos elementos Y que são maiores ou iguais a Z . No conjunto D , nós temos os elementos Y maiores do que Z ( Y > Z ) . Então, de fato o conjunto D está contido no conjunto F , e temos:

D ⊂ F → v e r d a d e i r o

Passo 9

Na letra h), temos E ⊂ F .

Agora nós temos no conjunto E , os elementos menores ou iguais a Z ( Y ≤ Z ) e no conjunto F os elementos maiores ou iguais a Z . Então, eles têm em comum, os elementos Y = Z , mas isso não significa que um conjunto está contido no outro, porque F não engloba todos os elementos de E . Sendo assim,

E ⊂ F → f a l s o

Teríamos E ∩ F = x ∈ R     Y = Z } .

Passo 10

Na letra i), temos F ⊂ B .

Nós já conhecemos os elementos do conjunto F , que nós vimos nos passos anteriores. No conjunto B , nós temos os elementos de Y que são diferentes de Z ( Y ≠ Z ).

Não tem como os elementos serem maiores ou iguais a Z e diferentes de Z ao mesmo tempo. Então, o conjunto B não engloba os elementos do conjunto F , e assim:

F ⊂ B → f a l s o

Teríamos F ⊄ B .

Passo 11

E por fim, temos na letra j), D ⊂ B .

Vamos ver se B engloba os elementos de D . No conjunto D , nós temos Y maior do que Z ( Y > Z ). E no conjunto B , nós temos os elementos de Y que são diferentes de Z ( Y ≠ Z ).

Então, nós não temos elementos em comum nos dois conjuntos e podemos dizer que, por isso, o conjunto D não está contido em B :

D ⊂ B → f a l s o

Teríamos D ⊄ B .

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a) A ∩ B = ∅ → v e r d a d e i r o

b) C ∩ D = ∅ → v e r d a d e i r o

c) E ∩ F = ∅ → f a l s o

d) C ∩ F = ∅ → v e r d a d e i r o

e) A ⊂ C → f a l s o

f) A ⊂ F → v e r d a d e i r o

g) D ⊂ F → v e r d a d e i r o

h) E ⊂ F → f a l s o

i) F ⊂ B → f a l s o

j) D ⊂ B → f a l s o

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