Determine o maior conjunto A tal que I m f ⊂ 𝓓 g e em seguida construa a composta h ( x ) = g ( f ( x ) ) .

c )   g ( x ) = x - 1 e f : A → ℝ ,   f ( x ) = x 2 .

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Esta questão pede que nós determinemos um conjunto A que indica uma imagem para a função f ( x ) dada, de forma que esta imagem esteja contida no domínio da função g ( x ) dada. E, por último, devemos escrever a função composta h ( x ) . Belezinha? Como fazemos isso? Temos que nos foram dados nesta alternativa as seguintes funções

f ( x ) = x 2

e, também

g ( x ) = x - 1

O primeiro passo é estudar o domínio da função g ( x ) , ou seja, as restrições sobre os valores de x , isso é bastante abrangente, mas se considerarmos que a nossa função assume apenas valores reais, podemos escrever algumas restrições, vamos fazer isso, beleza? Bora lá!

Passo 2

Temos que a função g ( x ) é

g ( x ) = x - 1

Para que tenhamos apenas valores reais, é preciso que x ≥ 1 , pois valores que não obedecem esta desigualdade geram raízes de números negativos, portanto, o domínio da função g ( x ) é

𝓓 g = { x ∈ ℝ | x ≥ 1 }

Como queremos um conjunto A em que I m f ⊂ 𝓓 g precisamos analisar um pouco o formato de nossa função f ( x ) . Bora lá!

Passo 3

A função f ( x ) é

f ( x ) = x 2

Como queremos que I m f ⊂ 𝓓 g nós queremos que a imagem (os resultados que você obtém quando coloca valores de x em f ), precisamos que f ( x ) ≥ 1 , pois assim não consideramos valores de f ( x ) fora do domínio de g ( x ) , obtemos que

f ( x ) ≥ 1

substituindo nossa função, temos que

x 2 ≥ 1

Isso é verdade para que valores de x ? Note que em x = ± 1 temos a igualdade, assim como para todos os valores x ≤ - 1 e x ≥ 1 , temos que a desigualdade é obedecida! O nosso conjunto A é então

A = { x ∈ ℝ |   x ≤ - 1   e   x ≥ 1 }

Agora só falta escrevermos a função composta, belezinha? Vamos lá!

Passo 4

A função composta é tal que

h ( x ) = g ( f ( x ) )

Ou seja, pegamos nossa f ( x ) e colocamos no lugar do “ x ” em g ( x ) , sacou? Desse jeitinho aqui

h ( x ) = x 2 - 1

O domínio desta função é dado pelo conjunto A , e esse é o ponto todo desta questão! O domínio da função composta é o maior conjunto em que I m f ⊂ 𝓓 g . A questão é isso! te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

A = { x ∈ ℝ |   x ≤ - 1   e   x ≥ 1 } e h ( x ) = x 2 - 1

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