19. Cada um dos exercícios a) - h) dá uma função f x e números L , x 0 e ϵ > 0 . Em cada caso, determine um intervalo aberto em torno de x 0 em que a desigualdade f x - L < ϵ seja verdadeira. Dê então um valor para δ > 0 tal que, para todo x satisfazendo 0 < x - x 0 < δ , a desigualdade f x - L < ϵ seja verdadeira.

h) f x   = m x + b , m > 0 , L = m + b , x 0 = 1 , ϵ = 0,05

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nessa questão foi dada uma função f x , um valor de L , x 0 e ϵ . Com esses dados, temos que determinar um intervalo em que f x - L < ϵ em torno de x 0 e assim, obter um valor de δ , tal que δ > 0 que satisfaça a relação 0 < x - x 0 < δ .

Ou seja, primeiro obtemos o intervalo de x que satisfaz f x - L < ϵ e depois obtemos outro intervalo de x dependente de δ , dado por 0 < x - x 0 < δ e comparamos os dois intervalos para obter um valor para δ .

Parece difícil? Bora começar! 😁

Passo 2

Podemos reescrever a inequação f x - L < ϵ como

- ϵ < f x - L < ϵ

Nesse caso, f x = m x + b , L = m + b e ϵ = 0,05 , ou seja

- 0,05 < m x + b - m + b < 0,05

- 0,05 < m x + b - m - b < 0,05

- 0,05 < m x - m < 0,05

Vamos isolar x no centro das desigualdades

- 0,05 + m < m x - m + m < 0,05 + m

- 0,05 + m < m x < 0,05 + m

- 0,05 + m m < m x m < 0,05 + m m

- 0,05 m + 1 < x < 0,05 m + 1

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Agora vamos obter o valor de δ !

x - x 0 < δ

Se x 0 = 1 , então

δ > x - 1

Analisando as duas desigualdades, chegamos em

- 0,05 m + 1 < x < 0,05 m + 1 δ > x - 1

δ = - 0,05 m + 1 - 1 → δ = 0,05 m

δ = 0,05 m + 1 - 1 → δ = 0,05 m

Portanto, temos

δ = 0,05 m

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

δ = 0,05 m

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Seja ϵ0 um real dado. Prove que quaisquer que sejam os reais positivos x e y , tem-se: x - yϵ 2 ⇒ x - yϵ
Determine uma aproximação por volta, com duas casas casas decimais exatas, de 10 3 .
A afirmação:“para todo real x ≥ 0 , x ≥ x ”é falsa ou verdadeira? Justifique.
Prove que é irracional.(a) sqrt(6) (b) sqrt(2) + sqrt(3)