19. Cada um dos exercícios a) - h) dá uma função f x e números L , x 0 e ϵ > 0 . Em cada caso, determine um intervalo aberto em torno de x 0 em que a desigualdade f x - L < ϵ seja verdadeira. Dê então um valor para δ > 0 tal que, para todo x satisfazendo 0 < x - x 0 < δ , a desigualdade f x - L < ϵ seja verdadeira.

g) f x   = m x , m > 0 , L = 3 m , x 0 = 3 , ϵ = c > 0

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nessa questão foi dada uma função f x , um valor de L , x 0 e ϵ . Com esses dados, temos que determinar um intervalo em que f x - L < ϵ em torno de x 0 e assim, obter um valor de δ , tal que δ > 0 que satisfaça a relação 0 < x - x 0 < δ .

Ou seja, primeiro obtemos o intervalo de x que satisfaz f x - L < ϵ e depois obtemos outro intervalo de x dependente de δ , dado por 0 < x - x 0 < δ e comparamos os dois intervalos para obter um valor para δ .

Parece difícil? Bora começar! 😁

Passo 2

Podemos reescrever a inequação f x - L < ϵ como

- ϵ < f x - L < ϵ

Nesse caso, f x = m x , L = 3 m e ϵ = c , ou seja

- c < m x - 3 m < c

Vamos tentar isolar x no meio das desigualdades

- c + 3 m < m x - 3 m + 3 m < c + 3 m

- c + 3 m m < m x m < c + 3 m m

- c + 3 m m < x < c + 3 m m

Bacana, não é? 😊

Passo 3

Agora vamos obter o valore de δ !

x - x 0 < δ

Se x 0 = 3 , então

δ > x - 3

Logo, analisando as desigualdades

- c + 3 m m < x < c + 3 m m δ > x - 3

δ = - c + 3 m m - 3 → δ = - c m

δ = c m

Ou também

δ = c + 3 m m - 3 → δ = c m

δ = c m

Portanto, o valor de δ é

δ = c m

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

δ = c m

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Seja ϵ0 um real dado. Prove que quaisquer que sejam os reais positivos x e y , tem-se: x - yϵ 2 ⇒ x - yϵ
Determine uma aproximação por volta, com duas casas casas decimais exatas, de 10 3 .
A afirmação:“para todo real x ≥ 0 , x ≥ x ”é falsa ou verdadeira? Justifique.
Prove que é irracional.(a) sqrt(6) (b) sqrt(2) + sqrt(3)