Determine o maior conjunto A tal que I m f ⊂ 𝓓 g e em seguida construa a composta h ( x ) = g ( f ( x ) ) .

a )   g ( x ) = x e f : A → ℝ ,   f ( x ) = x 2 - x .

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Esta questĂŁo pede que nĂłs determinemos um conjunto A que indica uma imagem para a função f ( x ) dada, de forma que esta imagem esteja contida no domĂ­nio da função g ( x ) dada. E, por Ășltimo, devemos escrever a função composta h ( x ) . Belezinha? Como fazemos isso? Temos que nos foram dados nesta alternativa as seguintes funçÔes

f ( x ) = x 2 - x

e, também

g ( x ) = x

O primeiro passo é estudar o domínio da função g ( x ) , ou seja, as restriçÔes sobre os valores de x , isso é bastante abrangente, mas vamos nos abster de valores complexos, isso nos då algumas restriçÔes, belezinha? Vem comigo!

Passo 2

Temos que a função g ( x ) é

g ( x ) = x

Para que isso nĂŁo resulte em uma imagem complexa, temos que o valor de x deve ser maior ou igual a zero, desta forma, temos que

𝓓 g = { x ∈ ℝ | x ≄ 0 }

Como queremos um conjunto A em que I m f ⊂ 𝓓 g precisamos analisar um pouco o formato de nossa função f ( x ) . Bora lá!

Passo 3

A função f ( x ) é

f ( x ) = x 2 - x

Como queremos que I m f ⊂ 𝓓 g nĂłs queremos que a imagem (os resultados que vocĂȘ obtĂ©m quando coloca valores de x em f ), sejam maiores que zero, jĂĄ que se considerarmos resultados negativos, estarĂ­amos fora do domĂ­nio de nossa outra função! Sacou? Temos entĂŁo que

f ( x ) ≄ 0

substituindo nossa função, temos que

x 2 - x ≄ 0

Vamos evidenciar um x em comum para ficar mais fĂĄcil a nossa anĂĄlise, temos que

x ( x - 1 ) ≄ 0

No prĂłximo passo vamos analisar os intervalos no qual a imagem Ă© maior do que zero, ou seja, avaliar para quais valores de x a desigualdade acima Ă© obedecida! Vamos lĂĄ!

Passo 4

Precisamos manter a seguinte desigualdade

x ( x - 1 ) ≄ 0

O lado esquerdo da desigualdade tem duas partes, o x e o x - 1 . Precisamos que o produto destes dois termos seja positivo. Ou seja, quando apenas um deles Ă© negativo, o produto Ă© negativo e entĂŁo temos um intervalo indesejado. Note que se x ≀ 0 , a nossa desigualdade sĂł serĂĄ positiva quando x ≀ 1 . Agora, se x ≄ 0 Ă© preciso tambĂ©m que x ≄ 1 . Todas estas restriçÔes nos levam ao conjunto

A = { x ∈ ℝ | - ∞ ≀ x ≀ 1   o u   1 ≀ x ≀ ∞ }

Ou em termos de conjuntos

A = ( - ∞ , 1 ] âˆȘ [ 1 , + ∞ )

Agora sĂł falta construirmos a nossa composta e acabou, firmeza? Vem comigo!

Passo 5

A função composta é tal que

h ( x ) = g ( f ( x ) )

Ou seja, pegamos nossa f ( x ) e colocamos no lugar do “ x ” em g ( x ) , sacou? Desse jeitinho aqui

h ( x ) = x 2 - x

O domĂ­nio desta função Ă© dado pelo conjunto A , e esse Ă© o ponto todo desta questĂŁo! O domĂ­nio da função composta Ă© o maior conjunto em que I m f ⊂ 𝓓 g . A questĂŁo Ă© isso! te vejo na prĂłxima! Tchau Tchau!

Resposta

A = ( - ∞ , 1 ] âˆȘ [ 1 , + ∞ ) e h ( x ) = x 2 - x

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