Determine o maior conjunto A tal que I m f ⊂ 𝓓 g e em seguida construa a composta h ( x ) = g ( f ( x ) ) .

b )   g ( x ) = 2 x + 2 e f : A → ℝ ,   f ( x ) = x + 3 .

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Esta questão pede que nós determinemos um conjunto A que indica uma imagem para a função f ( x ) dada, de forma que esta imagem esteja contida no domínio da função g ( x ) dada. E, por último, devemos escrever a função composta h ( x ) . Belezinha? Como fazemos isso? Temos que nos foram dados nesta alternativa as seguintes funções

f ( x ) = x + 3

e, também

g ( x ) = 2 x + 2

O primeiro passo é estudar o domínio da função g ( x ) , ou seja, as restrições sobre os valores de x , isso é bastante abrangente, mas se lembrarmos que é impossível dividir por 0 , temos uma restrição sobre nosso domínio! Bora lá!

Passo 2

Temos que a função g ( x ) é

g ( x ) = 2 x + 2

Para que não tenhamos uma divisão por zero é preciso que x ≠ - 2 . E, essa é a nossa única restrição, temos então que

𝓓 g = { x ∈ ℝ | x ≠ - 2 }

Como queremos um conjunto A em que I m f ⊂ 𝓓 g precisamos analisar um pouco o formato de nossa função f ( x ) . Bora lá!

Passo 3

A função f ( x ) é

f ( x ) = x + 3

Como queremos que I m f ⊂ 𝓓 g nós queremos que a imagem (os resultados que você obtém quando coloca valores de x em f ), precisamos que f ( x ) ≠ - 2 , pois se esse valor fazer parte da imagem, a imagem não está contida no domínio de g ( x ) , usando então que

f ( x ) ≠ - 2

substituindo nossa função, temos que

x + 3 ≠ - 2

Isso é verdade para que valores de x ? Todos os valores de x , exceto x = - 5 , pois veja, se calcularmos f ( - 5 ) , obtemos

f ( - 5 ) = - 5 + 3 = - 2

Então a nossa segunda limitação para o conjunto A é x = - 5 . O nosso conjunto é então

A = { x ∈ ℝ |   x ≠ - 5 }

Agora só falta escrevermos a função composta, belezinha? Vamos lá!

Passo 4

A função composta é tal que

h ( x ) = g ( f ( x ) )

Ou seja, pegamos nossa f ( x ) e colocamos no lugar do “ x ” em g ( x ) , sacou? Desse jeitinho aqui

h ( x ) = 2 ( x + 3 ) + 2 = 2 x + 5

O domínio desta função é dado pelo conjunto A , e esse é o ponto todo desta questão! O domínio da função composta é o maior conjunto em que I m f ⊂ 𝓓 g . A questão é isso! te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

A = { x ∈ ℝ |   x ≠ - 5 } e h ( x ) = 2 x + 5

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