(Stewart) Se uma bola for atirada ao ar com velocidade de 10   m / s , sua altura em metros, após t   segundos, é dada por y   =   10 t   —   4,9 t 2 . Usando derivadas, encontre a velocidade da bola quando t = 2 .

Passo 1

Falaeee, beleza??? Vamos relembrar primeiro aqui a definição de derivada, certinho?

De uma maneira geral, a derivada é a inclinação da reta tangente que passa por uma determinada curva. Além disso, é possível utilizar a derivada em física, pois ela também é uma taxa de variação, como na velocidade.

Assim, matematicamente falando, a definição de derivada de uma função y ( x ) é dada por:

y ' = lim h → 0 ⁡ f t + h - f ( t ) h

Onde h é o intervalo infinitesimal (que tende a zero) no ponto da tangente da curva ;)

Passo 2

Além disso, como queremos a velocidade, basta derivarmos a função dada (que é o espaço) em relação ao tempo.

Obs: Lembra lá da Física que velocidade é a variação da velocidade em um tempo? Pois é, aqui é exatamente isso haha!!

Assim, pela definição da derivada mostrada no Passo 1, aplicando a função dada pela questão, temos:

y ' = v = lim h → 0 ⁡ 10 t + h - 4,9 t + h 2 - 10 t + 4,9 t 2 h

Passo 3

Resolvendo a equação, temos:

v = lim h → 0 ⁡ 1 0 t + 10 h - 4,9 t 2 - 9,8 t h - 4,9 h 2 - 10 t + 4,9 t 2 h ∴

v = lim h → 0 ⁡ 1 0 h - 9,8 t h - 4,9 h 2 h ∴

v = lim h → 0 ⁡ ( 10 - 9,8 t - 4,9 h ) ∴

v = 10 - 9,8 t

Passo 4

Fazendo t = 2 , temos:

v 2 = 10 - 9,8 ∙ 2 ∴

v 2 = - 9,6   m / s

Tranquilo? Responde Aí!! ;)

Resposta

v 2 = - 9,6   m / s

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