Use a definição de derivada para encontrar as funções f ' e seu domínio:

f x = x 2 - 1 2 x - 3

Passo 1

Fala aí, galera!!! Tranquilidade aí com vocês?

Vamos lembrar da definição de derivada?

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Passo 2

  1. f x = x 2 - 1 2 x - 3

Pela definição

f ' x = lim h → 0 ⁡ x + h 2 - 1 2 x + h - 3 - x 2 - 1 2 x - 3 h

Note que temos uma indeterminação nesse rolê, né? Então vamos precisar fazer nossas “magias” matemáticas.

f ' x = lim h → 0 ⁡ 2 x - 3 x + h 2 - 1 - ( 2 x + h - 3 ) ( x 2 + 1 ) ( 2 x + h - 3 ) ( 2 x - 3 ) h

f ' x = lim h → 0 ⁡ 2 x 2 h + 2 x h 2 - 6 x h - 3 h 2 + 2 h 4 x 2 - 12 x + 4 x h - 6 h + 9 × 1 h

f ' x = l i m h → 0 2 x 2 + 2 x h - 6 x - 3 h + 2 4 x 2 - 12 x + 4 x h - 6 h + 9

f ' x = 2 x 2 - 6 x + 2 4 x 2 - 12 x + 9 = 2 x 2 - 6 x + 2 2 x - 3 2

Passo 3

Pronto, derivada calculada, agora vamos aos domínios!

Bom, o domínio de f ' ( x ) = 2 x 2 - 6 x + 2 2 x - 3 2 tem a restrição de que o denominador deve ser diferente de zero!

2 x - 3 ≠ 0

x ≠ 3 / 2

Sendo assim, o D o m f ' x = R - 3 2

Resposta

f ' ( x ) = 2 x 2 - 6 x + 2 2 x - 3 2

D o m f ' x = R - 3 2

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