Use a definição de derivada de uma função para calcular f ' x 0 e determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto x 0 , f x 0

  1. f x = x + 4 x + 2   e   x 0 = 0

Passo 1

E aí, galerinha! Vamos primeiro entender o que esse enunciado louco tá querendo dizer pra gente, beleza?

Bem, o mais importante é a gente lembrar a definição de derivada:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

E agora lembrar qual é a fórmula da reta tangente em um dado ponto.

y - f x 0 = f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Vamos então fazer por etapa essa questão, primeiro fazendo sua derivada e depois encontrando a reta tangente.

Passo 2

Aplicando a definição de derivada, vamos ter:

f ' x = lim h → 0 ⁡ x + h + 4 x + h + 2 - x + 4 x + 2 h = x + h + 4 x + 2 - ( x + 4 ) ( x + h + 2 ) ( x + h + 2 ) ( x + 2 ) h

x 2 + x h + 4 x + 2 x + 2 h + 8 - x 2 + x h + 2 x + 4 x + 4 h + 8 h ( x 2 + h x + 2 x + 2 x + 2 h + 4 )

x 2 + x h + 4 x + 2 x + 2 h + 8 - x 2 - x h - 2 x - 4 x - 4 h - 8 h ( x 2 + h x + 2 x + 2 x + 2 h + 4 )

x 2 + x h + 4 x + 2 x + 2 h + 8 - x 2 - x h - 2 x - 4 x - 4 h - 8 h x 2 + h x + 2 x + 2 x + 2 h + 4 = - 2 x 2 + h x + 4 x + 2 h + 4

f ' x = lim h → 0 ⁡ = - 2 x 2 + 4 x + 4

Passo 3

Agora vamos encontrar nossa reta tangente:

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0

O enunciado nos deu o valor de x 0 = 0 , então vamos encontrar o valor de f ( x 0 ) e f ' x 0

f x 0 = 0 = 4 2 = 2

f ' x 0 = 0 = - 2 0 2 + 4 0 + 4 = - 1 2

Substituindo na definição, temos:

y - 2 = 4 x + 1 2 = 4 x + 2

y = 4 x + 4

Resposta

f ' x = - 2 x 2 + 4 x + 4

y = 4 x + 4

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