Exercícios Resolvidos de Definição de Derivadas

Elaboração própria

Mostre, através da definição da derivada, que a derivada de um polinômio f x = x n é:

f ' x = n x n - 1

Passo 1

Começamos na definição da derivada:

f ' x = lim Δ x 0 f x + Δ x - f x Δ x = lim Δ x 0 x + Δ x n - x n Δ x

Agora temos que aplicar x + Δ x e x na função f x , assim como temos no numerador da definição f x + Δ x - f x .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O problema é ter que abrir um polinômio elevado a n .

E agora? É onde a álgebra vem ao resgate. Utilizando o binômio de Newton:

x + Δ x n = i = 0 n n i x n - i   Δ x i

x + Δ x n = x n + n x n - 1 Δ x + n n - 1 2 x n - 2 Δ x 2 + + n n - 1 2 x 2 Δ x n - 2 + n x Δ x n - 1 + Δ x n

Substituindo na definição:

f ' x = lim Δ x 0 x n + n x n - 1 Δ x + n n - 1 2 x n - 2 Δ x 2 + ( ) + n n - 1 2 x 2 Δ x n - 2 + n x Δ x n - 1 + Δ x n - x n Δ x

O x n cancela com - x n do final:

f ' x = lim Δ x 0 n x n - 1 Δ x + n n - 1 2 x n - 2 Δ x 2 + ( ) + n n - 1 2 x 2 Δ x n - 2 + n x Δ x n - 1 + Δ x n Δ x

Passo 3

Repara que tem pelo menos um Δ x multiplicando o que sobrou. Podemos efetuar a divisão desse Δ x em cada termo:

f ' x = lim Δ x 0 n x n - 1 + n n - 1 2 x n - 2 Δ x + ( ) + n n - 1 2 x 2 Δ x n - 3 + n x Δ x n - 2 + Δ x n - 1

Aplicando o limite, vão zerar todas essas potências de Δ x , restando só o primeiro termo, que não multiplica por Δ x :

f ' x = n x n - 1

Assim, a derivada de x n será n x n - 1 !

f x = x n f ' x = n x n - 1

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