Exercícios Resolvidos de Definição de Derivadas

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Enunciado

Seja f x = 1 2 x + 1 . Usando a definição de derivada, calcule f ' 0 .

Passo 1

A questão nos pede para calcularmos a derivada pela definição da função f x . Mas não só isto! Ela nos pede é para calcularmos a derivada no ponto x = 0 .

Logo, fica muito mais fácil utilizarmos a definição de derivada direto para o ponto x = 0 . Assim, já obteremos o valor da questão!

Vamos então relembrar que, a definição da derivada para um ponto x = x 0 é dada por:

f ' x 0 = lim x → x 0 ⁡ f x - f x 0 x - x 0

Portanto,

f ' 0 = lim x → x 0 ⁡ f x - f 0 x - 0 = lim x → 0 ⁡ 1 2 x + 1 - 1 x

Vamos tirar o mínimo do numerador e reorganizar o nosso limite. Portanto,

lim x → 0 ⁡ 1 - 1 ⋅ 2 x + 1 2 x + 1 x = lim x → 0 ⁡ 1 - 2 x - 1 2 x + 1 x = lim x → 0 ⁡ - 2 x x ⋅ 2 x + 1

Cortando o x do numerador e do denominador, temos:

lim x → 0 ⁡ - 2 x x ⋅ 2 x + 1 = lim x → 0 ⁡ - 2 2 x + 1

Substituindo o valor de x = 0 no limite, saberemos que a derivada f ' 0 é dada por:

lim x → 0 ⁡ - 2 2 x + 1 = - 2 0 + 1 = - 2

Resposta

f ' 0 = - 2

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