Exercícios Resolvidos de Definição de Derivadas

George B. Thomas, Cálculo Volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg 153, 25

Use a fórmula

f ' x = lim z x f z - f x z - x

Para determinar a derivada da função abaixo

f x = x x - 1

Passo 1

Para fazer a definição de derivada, temos que fazer o limite

f ' x = lim Δ x 0 f x + Δ x - f x Δ x

Mas ele pediu para usarmos aquela forma da definição. Repara que essa é a segunda forma que escrevemos na teoria, então não muda muita coisa.

Agora, trocando o valor de f x , o nosso limite vai ser:

f ' x = lim z x z z - 1 - x x - 1 z - x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar fazendo as contas dessa expressão dentro do limite. Primeiramente vamos juntar as frações que estão no numerador do limite:

f ' x = lim z x z x - 1 - x z - 1 x - 1 z - 1 z - x = lim z x x z - z - x z + x ( x - 1 ) ( z - 1 ) z - x = lim z x x - z ( x - 1 ) ( z - 1 ) z - x

Agora vamos repetir a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda:

f ' x = lim z x x - z x - 1 z - 1   . 1 z - x = lim z x x - z ( x - 1 ) ( z - 1 ) ( z - x )

Repara que

x - z = - z - x

f ' x = lim z x - z - x x - 1 z - 1 z - x

Simplificando z - x :

f ' x = lim z x - 1 x - 1 z - 1

Trocando o valor de z por x o nosso limite vai ficar

f ' x = - 1 x - 1 2

E pronto, fizemos a derivada pela definição.

Resposta

f ' x = - 1 x - 1 2

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