6 – Seja f x = x 2 - 1 ,     s e   x ≤ 1 1 - x 2 ,     s e   x > 1

d) Calcule f ' x , identifique o seu domínio e esboce seu gráfico.

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão temos uma função definida por partes f x = x 2 - 1 ,     s e   x ≤ 1 1 - x 2 ,     s e   x > 1 e nosso objetivo é calcular a derivada de f x , determinar o domínio de f ' x e esboçar seu gráfico.

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Para calcular a derivada de uma função definida por partes, é necessário determinar a derivada em cada uma das partes separadamente e, em seguida, juntá-las.

Para esboçar o domínio da função definida por partes, é necessário determinar os pontos de descontinuidade, que ocorrem nos limites entre as partes da função. Em cada uma das partes, o domínio é o intervalo correspondente. Ou seja, são os possíveis valores para x para a função ser definida.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Calculando a derivada de f x pelo método de derivação polinomial, temos

f ' x = d x 2 - 1 d x ,     s e   x ≤ 1 d 1 - x 2 d x ,     s e   x > 1

d x 2 - 1 d x = 2 x 2 - 1 - 1 0 = 2 x

d 1 - x 2 d x = 1 0 - 2 x 2 - 1 = - 2 x

Logo, a derivada de f x será

f ' x = 2 x ,     s e   x ≤ 1 - 2 x ,     s e   x > 1

Tranquilo até aqui? 🤔

Passo 3

Para determinar o domínio de f ' x , vemos quais são os possíveis valores que x pode admitir para a função ser determinada.

Como f ' x se trata de duas retas ( 2 x e - 2 x ) x pode assumir qualquer valor dos números reais, ou seja

D o m f ' x = x ∈ R

E por fim, para esboçar o gráfico de f ' x , olhamos para as partes de f ' . Quando x ≤ 1 , o gráfico de será da reta y = 2 x , mas se x > 1 , o gráfico será da reta y = - 2 x .

Juntando essas duas retas em seus devidos intervalos de x , temos

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

f ' x = 2 x ,     s e   x ≤ 1 - 2 x ,     s e   x > 1

D o m f ' x = x ∈ R

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9-16. Esboce a curva polar.10. r = s e n 4 theta
Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. x = senh ⁡ t y = cosh ⁡ t
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = d tem a equação polar r = e d 1 + e sen ⁡ θ
r = 9 6 + 2 cos ⁡ θ (a) Encontre a excentricidade,(b) identifique a cônica,(c) dê uma equação da diretriz e(d) esboce a cônica
(a) Encontre a excentricidade e a diretriz da cônica r = 1 1 - 2s e nθ e trace a cônica e sua diretriz.(b) Se a cônica girar no sentido anti-horário em torno da origem por um ângulo 3 π 4 , escreva a