Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Inversas Trigonométricas

Passo 1

Vamos aplicar a Regra da Cadeia nessa função:

g ' x = arctg ⁡ 2 tg ⁡ x 1 - tg 2 ⁡ x '

=

g ' x = arctg ⁡ 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x '

Isso será, pela Cadeia, a derivada de arctg ⁡ x , 1 1 + x 2 , com o 2 tg ⁡ x 1 - tg 2 ⁡ x no lugar desse x , multiplicado pela derivada do próprio 2 tg ⁡ x 1 - tg 2 ⁡ x .

arctg ⁡ 2 tg ⁡ x 1 - tg 2 ⁡ x ' = 1 1 + 2 tg ⁡ x 1 - tg 2 ⁡ x 2 2 tg ⁡ x 1 - tg 2 ⁡ x '

= 1 1 + 2 tg ⁡ x 1 - tg 2 ⁡ x 2 2 tg ⁡ x ' 1 - tg 2 ⁡ x - 2 tg ⁡ x 1 - tg 2 ⁡ x ' 1 - tg 2 ⁡ x 2

= 1 1 + 2 tg ⁡ x 1 - tg 2 ⁡ x 2 2 sec 2 ⁡ x 1 - tg 2 ⁡ x - 2 tg ⁡ x - 2 tg ⁡ x sec 2 ⁡ x 1 - tg 2 ⁡ x 2

= 1 1 + 2 tg ⁡ x 1 - tg 2 ⁡ x 2 2 sec 2 ⁡ x - 2 sec 2 ⁡ x tg 2 ⁡ x + 4 tg 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x 1 - tg 2 ⁡ x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A partir daqui, só temos que dar uma arrumada na expressão.

= 2 sec 2 ⁡ x + 2 sec 2 ⁡ x tg 2 ⁡ x 1 - tg 2 ⁡ x 2 1 + 2 tg ⁡ x 1 - tg 2 ⁡ x 2

= 2 sec 2 ⁡ x 1 + tg 2 ⁡ x 1 - tg 2 ⁡ x 2 1 + 2 tg ⁡ x 1 - tg 2 ⁡ x 2

= 2 sec 2 ⁡ x 1 + tg 2 ⁡ x 1 - tg 2 ⁡ x 2 + 2 tg ⁡ x 2

= 2 sec 2 ⁡ x 1 + tg 2 ⁡ x 1 - 2 tg 2 ⁡ x + tg 4 ⁡ x + 4 tg 2 ⁡ x

= 2 sec 2 ⁡ x 1 + tg 2 ⁡ x 1 + 2 tg 2 ⁡ x + tg 4 ⁡ x

Uso no denominador o produto notável do quadrado da soma

= 2 sec 2 ⁡ x 1 + tg 2 ⁡ x 1 + tg 2 ⁡ x 2

= 2 sec 2 ⁡ x 1 + tg 2 ⁡ x

Mas aqui tem uma propriedade trigonométrica pra gente usar:

1 + tg 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x

Com isso,

2 sec 2 ⁡ x 1 + tg 2 ⁡ x = 2 sec 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x

= 2

Passo 3

Agora, tem um jeito mais inteligente de fazermos essa questão. Sabe o termo dentro do arco tangente?

2 tg ⁡ x 1 - tg 2 ⁡ x

Esse cara é exatamente a forma trigonométrica de se calcular a tangente do dobro de x , ou seja:

2 tg ⁡ x 1 - tg 2 ⁡ x = tg ⁡ 2 x

Com isso, olha a função, fica assim:

arctg ⁡ tg ⁡ 2 x

O arco tangente é a função inversa da tangent, certo? E repara, se temos a função aplicada composta com a sua inversa, temos a seguinte propriedade:

f - 1 f x = x

Ou seja, sabe quem é g x ? Isso aqui:

g x = arctg ⁡ tg ⁡ 2 x = f - 1 f 2 x

= 2 x

Com isso, a derivada é:

g ' x = 2 x '

g ' x = 2

Bem mais elegante, né?

Resposta

g ' x = 2

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