Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Inversas Trigonométricas

Passo 1

Para verificar a igualdade

d x 3 3 arcsen ⁡ x + x 2 + 2 9 1 - x 2 d x = x 2 arcsen ⁡ x

O que a gente precisa fazer é derivar isso que está dentro do parenteses em relação a x e ver se achamos a mesma coisa que tem do lado direito dessa equação.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Usando a regra do produto para derivar a primeira parte e a regra do produto e da cadeia para derivar a segunda parte, temos

d x 3 3 arcsen ⁡ x + x 2 + 2 9 1 - x 2 d x = 3 x 2 3 arcsen ⁡ x + x 3 3 1 1 - x 2 + 2 x 9 1 - x 2 + x 2 + 2 9 ∙ 1 2 1 - x 2 ∙ - 2 x  

d x 3 3 arcsen ⁡ x + x 2 + 2 9 1 - x 2 d x = x 2 arcsen ⁡ x + x 3 3 1 - x 2 + 2 x 1 - x 2 9 - x ( x 2 + 2 ) 9 1 - x 2

Passo 3

Rearrumando isso pra facilitar a visualização:

d x 3 3 arcsen ⁡ x + x 2 + 2 9 1 - x 2 d x = x 2 arcsen ⁡ x + 2 x 1 - x 2 9 + x 3 3 1 - x 2 - x 3 + 2 x 9 1 - x 2

Agora, fazendo o mmc das duas ultimas frações:

d x 3 3 arcsen ⁡ x + x 2 + 2 9 1 - x 2 d x = x 2 arcsen ⁡ x + 2 x 1 - x 2 9 + 3 x 3 - x 3 - 2 x 9 1 - x 2

d x 3 3 arcsen ⁡ x + x 2 + 2 9 1 - x 2 d x = x 2 arcsen ⁡ x + 2 x 1 - x 2 9 + 2 x 3 - 2 x 9 1 - x 2

Fazendo de novo o mmc:

d x 3 3 arcsen ⁡ x + x 2 + 2 9 1 - x 2 d x = x 2 arcsen ⁡ x + 2 x 1 - x 2 ∙ 1 - x 2 9 1 - x 2 + 2 x 3 - 2 x 9 1 - x 2

d x 3 3 arcsen ⁡ x + x 2 + 2 9 1 - x 2 d x = x 2 arcsen ⁡ x + 2 x 1 - x 2 9 1 - x 2 + 2 x 3 - 2 x 9 1 - x 2

d x 3 3 arcsen ⁡ x + x 2 + 2 9 1 - x 2 d x = x 2 arcsen ⁡ x + 2 x - 2 x 3 9 1 - x 2 + 2 x 3 - 2 x 9 1 - x 2

d x 3 3 arcsen ⁡ x + x 2 + 2 9 1 - x 2 d x = x 2 arcsen ⁡ x + 2 x - 2 x 3 + 2 x 3 - 2 x 9 1 - x 2

Ou seja,

d x 3 3 arcsen ⁡ x + x 2 + 2 9 1 - x 2 d x = x 2 arcsen ⁡ x

Igualdade verificada

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