Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Inversas Trigonométricas

Passo 1

Para verificar a igualdade

d arctan ⁡ x 1 + 1 - x 2 d x = 1 2 1 - x 2

O que a gente precisa fazer é derivar isso que está dentro do parenteses em relação a x e ver se achamos a mesma coisa que tem do lado direito dessa equação.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Usando regra da cadeia e a regra do quociente (para derivar a função de dentro), temos

d arctan ⁡ x 1 + 1 - x 2 d x = 1 1 + x 1 + 1 - x 2 2 ∙ 1 1 + 1 - x 2 - - 2 x 2 1 - x 2 ∙ x 1 + 1 - x 2 2

Dando uma arrumanda nisso aí,

d arctan ⁡ x 1 + 1 - x 2 d x = 1 + 1 - x 2 + x 2 1 - x 2 1 + 1 - x 2 2 + x 2 1 + 1 - x 2 2 1 + 1 - x 2 2

d arctan ⁡ x 1 + 1 - x 2 d x = 1 + 1 - x 2 + x 2 1 - x 2 x 2 + 1 + 1 - x 2 2

Fazendo o mmc no numerador:

d arctan ⁡ x 1 + 1 - x 2 d x = x 2 + 1 + 1 - x 2 1 - x 2 1 - x 2 x 2 + ( 1 + 2 1 - x 2 + 1 - x 2 )

d arctan ⁡ x 1 + 1 - x 2 d x = x 2 + 1 - x 2 + 1 - x 2 1 - x 2 2 + 2 1 - x 2

d arctan ⁡ x 1 + 1 - x 2 d x = 1 + 1 - x 2 1 - x 2 2 + 2 1 - x 2

d arctan ⁡ x 1 + 1 - x 2 d x = 1 + 1 - x 2 1 - x 2 ∙ 1 2 + 2 1 - x 2

d arctan ⁡ x 1 + 1 - x 2 d x = 1 + 1 - x 2 1 - x 2 2 + 2 1 - x 2

d arctan ⁡ x 1 + 1 - x 2 d x = 1 + 1 - x 2 2 1 - x 2 1 + 1 - x 2

Uhul, agora podemos cortar o numerador com o denominador e finalmente ficamos com:

d arctan ⁡ x 1 + 1 - x 2 d x = 1 2 1 - x 2

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