Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Inversas Trigonométricas

Ver Teoria

Enunciado

1. Derive

j. f x = arctan ⁡ sec 2 ⁡ x - 1

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós queremos achar a derivada de uma função arcotangente, beleza?

E para fazer isso, vamos usar a derivada da função inversa. Para quem não lembra, temos que

f ' x = 1 f - 1 ' y

Bora lá!

Passo 2

Vamos considerar nossa função como sendo

f x = arctan ⁡ x

Lembra que isso é uma função arcotangente, então a sua inversa será a função tangente. Logo a nossa função inversa será,

f - 1 y = tan ⁡ y

Ou também podemos escrever que

x = tan ⁡ y

Opaaa! Agora já podemos aplicar!

Passo 3

Derivando a nossa f - 1 y = tan ⁡ y , das tabelas de derivadas, temos que:

f - 1 ' y = 1 cos 2 ⁡ y = cossec 2 ⁡ y

Como isso, temos que,

f ' x = - 1 cossec 2 ⁡ y

Mas repara que estamos em função de y ainda. Para sair dessa vamos usar a seguinte uma identidade trigonométrica, pois ela tem um termo de cossec 2 ⁡ y e isso vai nos ajudar a colocar tudo em função de x.

tan 2 ⁡ y + cossec 2 ⁡ y = 1

Mas temos que x = tan ⁡ y . Então

x 2 + cossec 2 ⁡ y = 1

cossec 2 ⁡ y = 1 - x 2

Substituindo, ficamos com,

f ' x = - 1 cossec 2 ⁡ y = 1 x 2 + 1

Pessoal! A gente achou a derivada da função arcotangente, mas o nosso problema pede outra derivada!

Derivando agora a nossa função do enunciado,

f x = arctan ⁡ sec 2 ⁡ x - 1

Vamos aplicar a regra da cadeia,

f ' x = sec 2 ⁡ x - 1 ' arctan' ⁡ sec 2 ⁡ x - 1

Passo 4

Para achar sec 2 ⁡ x - 1 ' vamos aplicar a regra da cadeia também,

sec 2 ⁡ x - 1 ' = sec 2 ⁡ x - 1 ' sec 2 ⁡ x - 1 '

E para achar a derivada de sec 2 ⁡ x - 1 ' , vamos ter que aplicar a regra da cadeia mais uma vez,

sec 2 ⁡ x - 1 ' = sec ⁡ x ' sec 2 ⁡ ' x - 0

sec 2 ⁡ x - 1 ' = tan ⁡ x sec ⁡ x 2 sec ⁡ x = 2 tan ⁡ x sec 2 ⁡ x

Logo,

sec 2 ⁡ x - 1 ' = ( 2 tan ⁡ x sec 2 ⁡ x ) 1 2 sec 2 ⁡ x - 1

Passo 5

Sendo assim, temos que,

f ' x = sec 2 ⁡ x - 1 ' arctan' ⁡ sec 2 ⁡ x - 1

f ' x = 2 tan ⁡ x sec 2 ⁡ x 1 2 sec 2 ⁡ x - 1 1 sec 2 ⁡ x - 1 2 + 1

f ' x = 2 tan ⁡ x sec 2 ⁡ x 1 2 sec 2 ⁡ x - 1 1 sec 2 ⁡ x

f ' x = tan ⁡ x sec 2 ⁡ x - 1

Resposta

f ' x = tan ⁡ x sec 2 ⁡ x - 1

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva o exercício 54 da série de exercícios 8.1, mostrando que arctan ⁡ x e - arctan ⁡ 1 x diferem por uma constante e então calcule-a.
Dois pontos, A e B , são diametralmente opostos nas praias de um lago circular com 1 km de diâmetro. Uma pessoa deseja ir do ponto A ao ponto B . Ela pode remar a uma velocidade de 1 1 2 km/h e andar
Encontre a derivada da função dada:f (x) = sec^(- 1) (sqrt(x^2 + 4))
Encontre a derivada da função dada:f (x) = ln (tg^(- 1) 3 x)
Encontre a derivada da função dada:g (x) = x^2 sec^(- 1) (1)/(x)