Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Inversas Trigonométricas

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Enunciado

  1. Uma nova regra de derivação foi deduzida nesse tópico: a derivada da função inversa. A tabela da esquerda representa três formas de escrever a mesma regra, apenas em notações diferentes. A tabela da direita apresenta a derivada das inversas das funções seno, cosseno e tangente (já com a regra da cadeia embutida).

Utilize a tabela para determinar a derivada das funções abaixo.

e. y = e 3 x arcsin ⁡ 2 x

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos uma função arcosseno para derivar. E o enunciado, nos forneceu uma colinha de como podemos fazer essa derivada, já com a regra da cadeia aplicada:

f x = arcsin ⁡ u → f ' x = u ' 1 - u 2

A nossa função é,

y = e 3 x arcsin ⁡ 2 x

Ou seja, temos que

u = 2 x

Então agora é só aplicar!

Passo 2

Para derivamos a nossa f x vamos usar a regra do produto.

f ' x = e 3 x ' arcsin ⁡ 2 x + e 3 x arcsin ⁡ 2 x '

Pela tabela fornecida pelo enunciado, temos que a derivada da função arcosseno será:

arcsin ⁡ 2 x ' = 2 1 - 4 x 2

Já a derivada da parte exponencial será:

e 3 x ' = 3 e 3 x

Com isso, a nossa f ' x , ficará

y ' = 3 e 3 x arcsin ⁡ 2 x + e 3 x 2 1 - 4 x 2

y ' = e 3 x 3 arcsin ⁡ 2 x + 2 1 - 4 x 2

Resposta

y ' = e 3 x 3 arcsin ⁡ 2 x + 2 1 - 4 x 2

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