Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Inversas Trigonométricas

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Enunciado

6. Para quais valores de x o gráfico de f tem uma reta tangente horizontal? Se não tem, por que não?

f. f x = x - cotg ⁡ x

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui precisamos encontrar em quais valores de x o gráfico de f terá uma reta tangente horizontal.

Para que uma reta seja horizontal, o coeficiente angular dela tem que ser igual a zero. Ou seja, a equação da reta tangente será:

y = a

Onde, a é uma constante qualquer (o coeficiente linear da reta).

Mas para resolver essa questão, também temos que lembrar que para encontrar a reta tangente a uma curva, usamos a seguinte equação:

y - y 0 = y ' x - x 0

Onde x 0 , y 0 são as coordenadas do ponto em que a reta tangente toca a curva e y' é a derivada neste mesmo ponto.

Ou seja, para que a reta tangente a uma curva seja horizontal, o termo y ' tem que ser zero. Em outras palavras, f terá uma reta tangente horizontal nos pontos onde a derivada de f for igual a zero.

Então bora lá!

Passo 2

Temos então a seguinte função,

y = x - cotg ⁡ x

Derivando,

y ' = x ' - cotg ⁡ x '

Temos que

x ' = 1

Agora vamos fazer ( cotg ⁡ x ) ' . Mas para isso vamos lembrar que,

cotg ⁡ x = 1 tg ⁡ x = cos ⁡ x sin ⁡ x

Vamos aplicar a regra do quociente para essa derivada,

cotg ⁡ x ' = - sin ⁡ x sin ⁡ x - cos ⁡ x cos ⁡ x sin 2 ⁡ x

cotg ⁡ x ' = - ( sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x ) sin 2 ⁡ x

Pela identidade trigonométrica, temos que

sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1

Logo,

cotg ⁡ x ' = - 1 sin 2 ⁡ x

Então a derivada fica assim,

y ' = 1 + 1 sin 2 ⁡ x

Agora vamos igualar a zero.

Passo 3

Igualando a zero ficamos com,

1 + 1 sin 2 ⁡ x = 0

1 sin 2 ⁡ x = - 1

sin 2 ⁡ x = - 1

Como nenhum número ao quadrado poderá ser igual a um número negativo. Essa equação não é verdeira e não existe nenhum x possível para que a reta tangente seja horizontal.

Resposta

Não há x

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